Equazione goniometrica
Un'amica di quarta liceo scientifico mi ha chiesto di aiutarla per alcuni esercizi di goniometria; questo mi sta dando parecchio filo da torcere.
$sin4x+sin2x=cosx$
Scancherando un po' sono arrivato a scriverla in questa forma:
$cosx*(8sin^3x-6sinx+1)=0$
Da cui si ricavano facilmente le due soluzioni date da $cosx=0$, ma per le altre non ho idea di come fare, senza ricorrere alle formule risolutive dell'equazione di 3° grado.
Graficandola al computer ho verificato la correttezza dei passaggi fin qui eseguiti e ho calcolato le altre 6 soluzioni, tutte multiple di $pi/18$, a due a due supplementari il che torna perfettamente: dall'equazione di 3° ottengo 3 seni a ciascuno dei quali corrispondono 2 angoli supplementari.
Il problema però rimane il 3° grado.
Magari esiste un qualche procedimento che permette di aggirare il problema, io ho già tentato diversi approcci, ma tutti infruttuosi.
$sin4x+sin2x=cosx$
Scancherando un po' sono arrivato a scriverla in questa forma:
$cosx*(8sin^3x-6sinx+1)=0$
Da cui si ricavano facilmente le due soluzioni date da $cosx=0$, ma per le altre non ho idea di come fare, senza ricorrere alle formule risolutive dell'equazione di 3° grado.
Graficandola al computer ho verificato la correttezza dei passaggi fin qui eseguiti e ho calcolato le altre 6 soluzioni, tutte multiple di $pi/18$, a due a due supplementari il che torna perfettamente: dall'equazione di 3° ottengo 3 seni a ciascuno dei quali corrispondono 2 angoli supplementari.
Il problema però rimane il 3° grado.
Magari esiste un qualche procedimento che permette di aggirare il problema, io ho già tentato diversi approcci, ma tutti infruttuosi.
Risposte
Io avrei provato dall'inizio con le formule di prostaferesi e si risolve in 3 o 4 passaggi... 
Metto lo svolgimento parziale sotto spoiler:
Metto lo svolgimento parziale sotto spoiler:
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