Equazione generale di una conica
Dall'equazione generale di una conica $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$, so che se $A * C$ è diverso da 0, $A$ è diverso da $C$ e $B=0$, l'equazione rappresenta un'ellisse o un'iperbole con gli assi di simmetria paralleli o coincidenti con gli assi cartesiani.
Dall'equazione con le condizioni imposte sopra arrivo alla seguente: $A(x + D/(2A))^2 + C(y + E/(2C))^2 = s$, dove $s= D^2/(4A) + E^2/(4C) - F$.
Ora, il mio libro, per arrivare a $Ax^2 + Cy^2 = s$ considera la traslazione di vettore $(-D/(2A); -E/(2C))$. La mia domanda è: la traslazione da considerare non dovrebbe essere di vettore$(D/(2A); E/(2C))$?
La traslazione che ho considerato ha infatti equazioni:
$x' = x + D/(2A) => x= x' - D/(2A)$ e $y' = y + E/(2C) => y= y' - E/(2C)$. Sostituendo nell'equazione di partenza si ottiene proprio $Ax^2 + Cy^2 = s$.
Sto facendo confusione oppure c'è un errore nel libro?
Dall'equazione con le condizioni imposte sopra arrivo alla seguente: $A(x + D/(2A))^2 + C(y + E/(2C))^2 = s$, dove $s= D^2/(4A) + E^2/(4C) - F$.
Ora, il mio libro, per arrivare a $Ax^2 + Cy^2 = s$ considera la traslazione di vettore $(-D/(2A); -E/(2C))$. La mia domanda è: la traslazione da considerare non dovrebbe essere di vettore$(D/(2A); E/(2C))$?
La traslazione che ho considerato ha infatti equazioni:
$x' = x + D/(2A) => x= x' - D/(2A)$ e $y' = y + E/(2C) => y= y' - E/(2C)$. Sostituendo nell'equazione di partenza si ottiene proprio $Ax^2 + Cy^2 = s$.
Sto facendo confusione oppure c'è un errore nel libro?
Risposte
Credo di aver capito: l'equazione $A(x+D/(2A))^2 + C(y + E/(2C))^2 =s$ rappresenta una conica traslata (quindi le variabili $x$ ed $y$ corrispondono alle variabili $x'$ ed $y'$ nell'equazione della traslazione). Perciò basta sostituire nelle equazioni di sopra le uguaglianze di $x'$ ed $y'$ della traslazione per ricondurci alla conica con centro di simmetria nell'origine degli assi: $Ax^2 + Cy^2=s$
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