Equazione fratta parametrica

[kolop-votailprof]

Salve a tutti, ho risolto una fratta parametrica ed ho fatto anche la discussione ma non so se il procedimento è esatto. Questa è l'equazione:

$ (2k-3)/(3x-k) = (-12x-4k+9)/(3x+k)
$[(2k-3)(3x+k)]/[(3x-k)(3x+k)]=[(3x-k)(-12x-4k+9)]/[(3x-k)(3x+k)]

condizioni di esistenza: $x!=k/3 e x!=-k/3

$6kx+2k^2-9x-3k+36x^2+12kx-27x-12kx-4k^2+9k=0
$36x^2-6x(6-k)-k(2k-6)=0

Discussione
1. $6(6-k)=0$ quando $k=6$ l'equazione diventa pura con soluzioni:
$36x^2-6(12-6)=0
$x^2=+-sqrt1
$x_1=+1$ ; $x_2=-1$

2. $k(2k-6)=0$ quando $k=0$ e $k=3$ l'equazione diventa spuria:
$k=0$ con soluzioni:
$36x^2-6x(6-0)=0
$36x(x-1)=0
$x_1=0$ ; $x_2=1$

$k=3$ con soluzioni:
$36x^2-6x(6-3)=0
$36x^2-18x=0
$x_1=0$ ; $x_2=1/2$

3. determino le soluzioni dell'equazioni con $k!=6$ , $k!=3$ , $k!=0$
$36x^2-6x(6-k)-k(2k-6)=0
$[3(6-k)+-sqrt[(18-3k)^2+36k(2k-6)]]/36
$[18-3k+-sqrt[(9k-18)^2]]/36
$x_1=k/6$ ; $x_2=1-k/3$

Grazie 1000.....buona serata!!

[G.D.5]

Diciamo che più che altro quello che hai fatto ai punti 1 e 2 è inutile: infatti, al punto 3, se poni [tex]k=0[/tex] oppure [tex]h=3[/tex] oppure [tex]k=6[/tex] ottieni le soluzioni determinate ai punti 1 e 2.
Quello che in generale si fa è studiare il discriminante dell'equazione (se questa è di secondo grado): si determinano quindi gli eventuali valori che rendono il discriminante negativo rendendo impossibile l'equazione e poi si trovano le soluzioni per quei valori del parametro che rendono il discriminante non negativo.

[@melia]

Non hai fatto la discussione, non saprei dare un nome preciso a quello che hai fatto, forse analisi dei casi con equazione incompleta.
Manca, invece, la discussione vera e propria, cioè non hai controllato se le soluzioni sono compatibili con le condizioni di esistenza.
In pratica la soluzione corretta dell'esercizio è


$ (2k-3)/(3x-k) = (-12x-4k+9)/(3x+k)
$[(2k-3)(3x+k)]/[(3x-k)(3x+k)]=[(3x-k)(-12x-4k+9)]/[(3x-k)(3x+k)]

condizioni di esistenza: $x!=k/3 e x!=-k/3

$6kx+2k^2-9x-3k+36x^2+12kx-27x-12kx-4k^2+9k=0
$36x^2-6x(6-k)-k(2k-6)=0

$36x^2-6x(6-k)-k(2k-6)=0
$[3(6-k)+-sqrt[(18-3k)^2+36k(2k-6)]]/36
$[18-3k+-sqrt[(9k-18)^2]]/36
$x_1=k/6$ ; $x_2=1-k/3$

E adesso discussione:
$k/6 !=+-k/3$ ... e calcoli
$1-k/3 !=+-k/3$ ... e calcoli