Equazione fratta: la svolgo correttamente?
L'esercizio è questo
$x^3$ $/x+1$ = $x^4$ - 81 / $x^2$ - 2x - 3
Ora, io cosa ho fatto, ho visto che $x^4$ - 81 è una differenza di quadrati, giusto? che diventa ($x^2$+9)($x^2$-9), ci siamo?
Poi ho notato che ($x^2$-9) è ancora una differenza di quadrati, giusto? Perchè sarebbe uguale a (x+3)(x-3).
Per cui sono arrivato a
$x^3$ $/x+1$ = ($x^2$+9)(x+3)(x-3) / $x^2$ - 2x - 3
Ma ora cosa devo fare? Io ho svolto tutti i prodotti, ma oltre a venirmi un casino di monomi, sommando tutto, arrivo comunque ad una equazione di quarto grado, e non credo sia la strada giusta.... c'è qualcos'altro che devo scomporre? Ho sbagliato qualcosa fino a quel punto?
Grazie a tutti, finora siete stati fondamentali...
Paolo
$x^3$ $/x+1$ = $x^4$ - 81 / $x^2$ - 2x - 3
Ora, io cosa ho fatto, ho visto che $x^4$ - 81 è una differenza di quadrati, giusto? che diventa ($x^2$+9)($x^2$-9), ci siamo?
Poi ho notato che ($x^2$-9) è ancora una differenza di quadrati, giusto? Perchè sarebbe uguale a (x+3)(x-3).
Per cui sono arrivato a
$x^3$ $/x+1$ = ($x^2$+9)(x+3)(x-3) / $x^2$ - 2x - 3
Ma ora cosa devo fare? Io ho svolto tutti i prodotti, ma oltre a venirmi un casino di monomi, sommando tutto, arrivo comunque ad una equazione di quarto grado, e non credo sia la strada giusta.... c'è qualcos'altro che devo scomporre? Ho sbagliato qualcosa fino a quel punto?
Grazie a tutti, finora siete stati fondamentali...
Paolo
Risposte
Se ben capisco, la tua equazione è
$x^3/(x+1)=(x^4-81)/(x^2-2x-3)$
e devi scomporre il denominatore della seconda frazione; verrà una bella semplificazione. Non dimenticare il campo di esistenza.
La mia formula è stata ottenuta scrivendo \$x^3/(x+1)=(x^4-81)/(x^2-2x-3)\$; impara perché ti avvicini ai 30 messaggi ed allora ti sarà obbligatorio.
$x^3/(x+1)=(x^4-81)/(x^2-2x-3)$
e devi scomporre il denominatore della seconda frazione; verrà una bella semplificazione. Non dimenticare il campo di esistenza.
La mia formula è stata ottenuta scrivendo \$x^3/(x+1)=(x^4-81)/(x^2-2x-3)\$; impara perché ti avvicini ai 30 messaggi ed allora ti sarà obbligatorio.
Ecco, è proprio li che avevo il dubbio. Il denominatore $x^2-2x-3$, come si può scomporre? Non è un quadrato di binomio...
Ma ciò che ho fatto al numeratore è giusto?
Ma ciò che ho fatto al numeratore è giusto?
O applichi la regola della somma e prodotto cioè: trovare due numeri che hanno come somma $-2$ e prodotto $-3$. O ancora Ruffini oppure risolvi l'equazione associata $x^2-2x-3=0$. Non si tratta di un quadrato di un binomio.
Raccogliere la x? no?
Se risolvo l'equazione associata, poi avrò due soluzioni, e come vanno messe al denominatore?
Se risolvo l'equazione associata, poi avrò due soluzioni, e come vanno messe al denominatore?
Che serve mettere in evidenza la $x$? Avrai due soluzioni con l'equazione associata: è proprio quello che ti serve. Avrai una cosa del tipo $a(x-x_1)(x-x_2)$
La a che hai messo prima a cosa serve? e perchè c'è il segno meno prima di ogni soluzione?
Si tratta della scomposizione in fattori di un'equazione di secondo grado. Non so quale metodo vuoi applicare.
ok, allora ora arrivo a questo
$x^3/(x+1)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$ / $(x-3)(x+1)$
Ora cosa devo fare? semplifico $(x-3)$ e poi eseguo i prodotti tra le parentesi?
$x^3/(x+1)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$ / $(x-3)(x+1)$
Ora cosa devo fare? semplifico $(x-3)$ e poi eseguo i prodotti tra le parentesi?
Arrivo ad una equazione semplice di secondo grado
$-3x^2 - 9x - 27 = 0$
Ma il delta mi viene negativo! Mentre il libro mi dice che il risultato è 3, e che siccome non è compreso nel campo di esistenza (poichè prima di arrivare a quell'equazione fratta, era un equazione logaritmica con CE=$(3,+oo )$), l'insieme delle soluzioni è insieme vuoto.
Ma qui non mi viene 3...
$-3x^2 - 9x - 27 = 0$
Ma il delta mi viene negativo! Mentre il libro mi dice che il risultato è 3, e che siccome non è compreso nel campo di esistenza (poichè prima di arrivare a quell'equazione fratta, era un equazione logaritmica con CE=$(3,+oo )$), l'insieme delle soluzioni è insieme vuoto.
Ma qui non mi viene 3...
Strano. Puoi postare l'intero esercizio?
Allora fino a qui ci siamo?
$x^3/(x+1)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$ / $(x-3)(x+1)$
Dopo non ho fatto nient'altro che semplificare (x-3) tra il denominatore e il numeratore del secondo membro, eliminare il denominatore ad entrambi i membri grazie al secondo principio di equivalenza e svolgere i prodotti restanti:
$x^3 = x^3 + 3x^2 +9x + 27 $
A tal punto porto l'equazione in forma normale, e provo a risolverla normalmente, ma il delta mi viene negativo...
$x^3/(x+1)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$ / $(x-3)(x+1)$
Dopo non ho fatto nient'altro che semplificare (x-3) tra il denominatore e il numeratore del secondo membro, eliminare il denominatore ad entrambi i membri grazie al secondo principio di equivalenza e svolgere i prodotti restanti:
$x^3 = x^3 + 3x^2 +9x + 27 $
A tal punto porto l'equazione in forma normale, e provo a risolverla normalmente, ma il delta mi viene negativo...
Intendo dal logaritmo, l'esercizio di partenza.
"anonymous_c5d2a1":
Intendo dal logaritmo, l'esercizio di partenza.
Ah si, sorry. Il testo è questo
$3 log_4 x - log_4 (x+1)$ = $log_4 (x^4 - 81) + $log$_1/4 $$(x^2-2x-3)$
dove $$log$_1/4 $$$ è uguale a $-log_4 (x^2-2x-3)$
Per cui sfruttando le varie proprietà dei logaritmi arrivo ad avere
$log_4$ $x^3/(x+1)= $log$_4$$ (x^4-81)/(x^2-2x-3)$
A questo punto, eguagliando gli argomenti ho l'equazione fratta in oggetto.
FIno a qui mi trovo anche con la soluzione del libro, che però si esaurisce nel testo dell'equazione fratta e nel risultato della stessa che è 3 (che però non appartenendo al CE non è preso in considerazione come soluzione dell'intero esercizio).
Ciò che ho fatto io va dalla scomposizione del numeratore del secondo membro in poi...che spero sia stata fatta bene...
Mi sembra di trovare i tuoi stessi risultati risolvendo così....
Se l'equazione è
$3 log_4 x - log_4 (x+1) = log_4 (x^4 - 81) + log_(1/4) (x^2-2x-3)$,
il CE si ottiene risolvendo il sistema
${(x>0), (x+1>0), (x^4-81>0), (x^2-2x-3>0):}->{(x>0), (x> -1), ((x^2-9)(x^2+9)>0), ((x+1)(x-3)>0):}$
$->{(x>0), (x> -1), ((x-3)(x+3)>0), ((x+1)(x-3)>0):}->x>3$.
Poi l'equazione si può semplificare come
$log_4 x^3 - log_4 (x+1) =$
$= log_4 (x^2+9)+log_4(x-3)+log_4(x+3) - log_4 (x+1)-log_4(x-3)$
$log_4 x^3 = log_4 (x^2+9)+log_4(x+3)$
$log_4 x^3 = log_4 [(x^2+9)(x+3)]$
$log_4 x^3 = log_4 (x^3+3x^2+9x+27)$
$x^3=x^3+3x^2+9x+27$
$3x^2+9x+27=0$
$x^2+3x+9=0$.
Questa equazione è impossibile, perché $Delta<0$.
Se l'equazione è
$3 log_4 x - log_4 (x+1) = log_4 (x^4 - 81) + log_(1/4) (x^2-2x-3)$,
il CE si ottiene risolvendo il sistema
${(x>0), (x+1>0), (x^4-81>0), (x^2-2x-3>0):}->{(x>0), (x> -1), ((x^2-9)(x^2+9)>0), ((x+1)(x-3)>0):}$
$->{(x>0), (x> -1), ((x-3)(x+3)>0), ((x+1)(x-3)>0):}->x>3$.
Poi l'equazione si può semplificare come
$log_4 x^3 - log_4 (x+1) =$
$= log_4 (x^2+9)+log_4(x-3)+log_4(x+3) - log_4 (x+1)-log_4(x-3)$
$log_4 x^3 = log_4 (x^2+9)+log_4(x+3)$
$log_4 x^3 = log_4 [(x^2+9)(x+3)]$
$log_4 x^3 = log_4 (x^3+3x^2+9x+27)$
$x^3=x^3+3x^2+9x+27$
$3x^2+9x+27=0$
$x^2+3x+9=0$.
Questa equazione è impossibile, perché $Delta<0$.
Errore del libro o del prof.
Già. però il libro dice "...viene fuori l'equazione fratta...Il cui risultato è 3, che però confrontato con il campo di esistenza, l'insieme delle soluzioni risulta essere insieme vuoto."
O è sbagliato il risultato, e volevano dire solo insieme vuoto (quello che è effettivamente), perchè questo 3 non viene da nessuna parte!
Grazie mille per la pazienza... spero che ne avrete altra, perchè fra poco devo iniziare a fare i compiti d'esame degli anni passati, e ne vedrò delle belle...
(rido per non piangere).
O è sbagliato il risultato, e volevano dire solo insieme vuoto (quello che è effettivamente), perchè questo 3 non viene da nessuna parte!
Grazie mille per la pazienza... spero che ne avrete altra, perchè fra poco devo iniziare a fare i compiti d'esame degli anni passati, e ne vedrò delle belle...
(rido per non piangere).
Evidentemente il libro non ha fatto la semplificazione per $(x-3)$ e quindi ottiene l'equazione
$3(x-3)(x^2+3x+9)=0$
che ha appunto quella soluzione.
$3(x-3)(x^2+3x+9)=0$
che ha appunto quella soluzione.
Ma il 3 non viene preso in considerazione in quanto non è compreso nel campo di esistenza? Poichè dice che l'equazione è definita per tutti i numeri strettamente maggiori di tre?
Sì, proprio per questo.
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