Equazione fratta con valore assoluto
mi si chiede di risolvere
$|(x^4-x^2)/(x+1)|=x^3$
Ho posto C.E: $x!=-1$, pertanto
$|(x^2(x-1)(x+1))/(x+1)|=x^3$ da cui $|x^2(x-1)|=x^3$ . Poi ho detto che, per definizione di modulo, devo studiare il segno di $x^2(x-1)$
Ho ottenuto che $x^2(x-1)>=0$ per $x>=1 vv x=0$. Quindi l'equazione equivale alla coppia di sistemi
$\{(x>=1 vv x=0),(x^2(x-1)=x^3):}$
$\{(x<1 vv x!=0 vv x!=-1),(-x^2(x-1)=x^3):}$
Risolvendo il primo sistema ottengo come soluzione $x=0$. Accettabile.
Risolvendo il secondo sistema ottengo come soluzione $x=0$ (non accettabile) e $x=1/2$ (accettabile).
Quindi, unendo i due insiemi di soluzione, ottengo l'insieme $S={0,1/2}$. È corretto?
$|(x^4-x^2)/(x+1)|=x^3$
Ho posto C.E: $x!=-1$, pertanto
$|(x^2(x-1)(x+1))/(x+1)|=x^3$ da cui $|x^2(x-1)|=x^3$ . Poi ho detto che, per definizione di modulo, devo studiare il segno di $x^2(x-1)$
Ho ottenuto che $x^2(x-1)>=0$ per $x>=1 vv x=0$. Quindi l'equazione equivale alla coppia di sistemi
$\{(x>=1 vv x=0),(x^2(x-1)=x^3):}$
$\{(x<1 vv x!=0 vv x!=-1),(-x^2(x-1)=x^3):}$
Risolvendo il primo sistema ottengo come soluzione $x=0$. Accettabile.
Risolvendo il secondo sistema ottengo come soluzione $x=0$ (non accettabile) e $x=1/2$ (accettabile).
Quindi, unendo i due insiemi di soluzione, ottengo l'insieme $S={0,1/2}$. È corretto?
Risposte
Ciao @blabla !
Il risultato finale è corretto, tuttavia c'è una piccola inesattezza nel secondo sistema: non ci vuole $vv$, ma $^^$. Inoltre mi permetto di darti un piccolo consiglio che forse velocizzerebbe i calcoli. Da $abs(x^2(x-1))=x^3$, per le proprietà dei valori assoluti puoi portare fuori $x^2$ ottenendo $x^2abs(x-1)=x^3$ e, dopo aver notato che $x=0$ è una soluzione, puoi semplificare ottenendo $abs(x-1)=x$ che è un po' più veloce da studiare.
Fammi sapere se è tutto chiaro o hai dei dubbi. In tal caso non esitare a chiedere.
Saluti
Il risultato finale è corretto, tuttavia c'è una piccola inesattezza nel secondo sistema: non ci vuole $vv$, ma $^^$. Inoltre mi permetto di darti un piccolo consiglio che forse velocizzerebbe i calcoli. Da $abs(x^2(x-1))=x^3$, per le proprietà dei valori assoluti puoi portare fuori $x^2$ ottenendo $x^2abs(x-1)=x^3$ e, dopo aver notato che $x=0$ è una soluzione, puoi semplificare ottenendo $abs(x-1)=x$ che è un po' più veloce da studiare.
Fammi sapere se è tutto chiaro o hai dei dubbi. In tal caso non esitare a chiedere.
Saluti
Grazie per la risposta. Posso chiedere perché nel primo sistema va messo l'operatore OR e nel secondo invece l'operatore AND?
Nel primo sistema la prima riga dice che la $x$ può appartenere alla semiretta $x>=1$ unita al punto $x=0$ (per questo OR, cioè unione)
Nel secondo sistema alla semiretta $x<1$ devi togliere i punti $x=0$ e $x= -1$, quindi devi intersecare la semiretta decrescente con la retta privata dei due punti (per questo AND, cioè intersezione)
Nel secondo sistema alla semiretta $x<1$ devi togliere i punti $x=0$ e $x= -1$, quindi devi intersecare la semiretta decrescente con la retta privata dei due punti (per questo AND, cioè intersezione)
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