Equazione esponenziale, un piccolo aiuto per favore

[pirke]

L'equazione è questa:
\[\left(\sqrt[4]{\sqrt{10}+3} \right )^x -\left(\sqrt[4]{\sqrt{10}-3} \right )^x = 12 \sqrt{10}\]

Non ne vengo a capo, ho provato a mettere
\[\left(\sqrt[4]{\sqrt{10}+3} \right )^x =y\]

A ridurre il radicanco:
\[\left(\sqrt[4]{\sqrt{10}+3} \right )^x = \left(\sqrt{\sqrt2 +1} \right )^x \]

Ma niente, non ci arrivo
Il risultato è 8
Grazie e saluti

[xXStephXx]

Quando trovi cose del genere devi sempre razionalizzare. Poi se $\sqrt(10)^2-3^2=1$ a maggior ragione!

Considera $sqrt(10)+3= 1/(sqrt(10)-3)$ e vai avanti.

[theras]

Ciao,e benvenuta/o su questo Forum!
Per risolvere il tuo quesito ti basta osservare che $root(4)(sqrt(10)+3)root(4)(sqrt(10)-3)=root(4)((sqrt(10)+3)(sqrt(10)-3))=root(4)([(sqrt(10))^2-3^2])=root(4)(10-9)=root(4)(1)=1 rArr$
$rArr root(4)(sqrt(10)+3)=1/(root(4)(sqrt(10)-3))rArr (root(4)(sqrt(10)+3))^x=1/(root(4)(sqrt(10)-3))^x$:
a questo punto ti dovrebbe venire istintive posizione e strategia risolutiva opportuna..
Saluti dal web.

[pirke]

Grazie mille per le risposte,
Avevo già messo
\[\left(\sqrt{10}+3 \right)^{x/4} = y\]
ottenendo: $y^2-12\sqrt{10}-1 = 0$
Con queste due soluzioni: $y_1 = 6\sqrt{10}-19 \quad y_2 = 6\sqrt{10}+19$

Pero', sinceramente, non riesco a vedere come questo:
\[\left(\sqrt{10}+3 \right)^{x/4} = 6\sqrt{10}+19\]

Possa fare 8
Dov'è che sbaglio?
Grazie ancora, saluti

[theras]

Osserva che $(sqrt(10)+3)^2=6sqrt(10)+19rArrlog_(sqrt(10)+3)(6sqrt(10)+19)=..rArr..=2rArr..$:
saluti dal web.

[@melia]

Oppure osserva che $19+6sqrt10=10 + 2*3*sqrt10 +3^2=(sqrt10 + 3)^2$