Equazione esponenziale semplice a vedersi

[white-blackprince]

ho questa equazione: $(3^sqrt(x^2 + 16))/(3^sqrt(6x + 7))= 27/3^x$ risultato -7/6 , 3

dopo aver trasformato 27 in base 3, quindi $3^3$ si ha un'equazione con tutte le basi uguali, quindi procedo a mettere in uguaglianza gli espnenti dopo però aver elevato al quadrato tutto (per poter togliere le parentesi) e ottengo: $x^2 + 16-6x-7= 6-2x$ che da : $x^2 -4x+3=0$. svolgendo con la formula risolutiva ottengo 4;0 come risultati.
potete aiutarmi a capire dove sbaglio? grazie !!!

[marco.ceccarelli]

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

[anto_zoolander]

È facile, forse un po' lungo il procedimento.

$(3^sqrt(x^2+16))/(3^sqrt(6x+7))=27/3^x$

le condizioni di esistenza riguardano solo $sqrt(6x+7)$ ovvero $6x+7geq0 <=> xgeq-7/6$
adesso è abbastanza banale, basta scrivere tutto in base $3$

$3^(sqrt(x^2+16)-sqrt(6x+7))=3^(3-x)$

la funzione esponenziale è di fatto una funzione iniettiva quindi $3^g(x)=3^(h(x)) => g(x)=h(x)$

$sqrt(x^2+16)-sqrt(6x+7)=3-x$

$sqrt(x^2+16)=sqrt(6x+7)+(3-x)$

il secondo membro deve essere necessariamente positivo, quindi:

$sqrt(6x+7)geqx-3$

equivale all'unione dei sistemi:

\begin{equation}
\begin{cases}
6x+7\geq0\\x-3\geq0\\6x+7\geq x^2-6x+9
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x-3<0\\6x+7\geq0
\end{cases}
\end{equation}

risolviamo $x^2-12x+2leq0$

il $Delta=144-8=136(=4*34)$ e le soluzioni sono $6-sqrt34leqxleq6+sqrt34$

tornando ai sistemi..

\begin{equation}
\begin{cases}
x\geq-7/6\\x\geq3\\ 6-\sqrt(34)\leq x\leq 6+\sqrt(34)
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x<3\\x\geq-7/6
\end{cases}
\end{equation}

quindi la soluzione del sistema sarà $-7/6leqxleq6+sqrt34$
queste ultime ci servono per farci un'idea di dove le due curve possano intersecarsi. Perché se ora ci viene questo intervallo e poi ci dovesse uscire qualche soluzione tale che sia al di fuori di questo intervallo, sarebbe un campanello d'allarme per segnalare qualche errore nei calcoli.

sotto queste condizioni possiamo elevare entrambi i membri al quadrato:

$x^2+16=(sqrt(6x+7)+(3-x))^2$

$x^2+16=6x+7+2(3-x)sqrt(6x+7)+(3-x)^2$

$x^2+16=6x+7+2(3-x)sqrt(6x+7)+9-6x+x^2$

$0=2(3-x)sqrt(6x+7)$

ora basta dividere i due casi:

$3-x=0 <=> x=3$ è la prima soluzione dell'equazione

$sqrt(6x+7)=0$ la funzione radice è anch'essa una funzione iniettiva, quindi considerando

$sqrt(6x+7)=sqrt(0)$

eguagliamo gli argomenti: $6x+7=0 <=> x=-7/6$

ricordiamo che l'intervallo in cui le due possono intersecarsi è $[-7/6,6+sqrt34]$ ed entrambi i valori sono inclusi in questo intervallo.

Ovviamente essere breve non è di mio gusto
Spero di essere stato chiaro.