Equazione esponenziale con radicali
Ciao!
Avrei bisogno per favore di una mano per risolvere questa equazione esponenziale:
\( \frac{3^{x+1}}{25}\sqrt{3}=\sqrt{25^x\sqrt[3]{3^{x-1}}} \) (il risultato dovrebbe essere x=-2 )
Allora, io sono arrivato fin qui:
Posto C.E. per il secondo membro che è un radicale:
\( \sqrt{25^x\sqrt[3]{3^{x-1}}} >0 \)
E poi ho cercato di "togliere" la radice sotto la radice così:
\( \frac{3^{x+1}}{25}\sqrt{3}=\sqrt{25^x3^{\frac{x-1}{3}}} \)
Poi però non saprei bene come procedere (sempre che sia giusto quanto fatto fin qui...)
Devo forse elevare ora tutto al quadrato?
Poi cmq mi ritroverei così senza saper lo stesso come andare avanti...
\( \frac{3^{2x+3}}{625}=25^x3^{\frac{x-1}{3}} \)
Se quindi riusciste per piacere a spiegarmi il procedimento, possibilmente evidenziando dove nel caso ho sbagliato, ve ne sarei assai grato!
Grazie mille!
Avrei bisogno per favore di una mano per risolvere questa equazione esponenziale:
\( \frac{3^{x+1}}{25}\sqrt{3}=\sqrt{25^x\sqrt[3]{3^{x-1}}} \) (il risultato dovrebbe essere x=-2 )
Allora, io sono arrivato fin qui:
Posto C.E. per il secondo membro che è un radicale:
\( \sqrt{25^x\sqrt[3]{3^{x-1}}} >0 \)
E poi ho cercato di "togliere" la radice sotto la radice così:
\( \frac{3^{x+1}}{25}\sqrt{3}=\sqrt{25^x3^{\frac{x-1}{3}}} \)
Poi però non saprei bene come procedere (sempre che sia giusto quanto fatto fin qui...)
Devo forse elevare ora tutto al quadrato?
Poi cmq mi ritroverei così senza saper lo stesso come andare avanti...
\( \frac{3^{2x+3}}{625}=25^x3^{\frac{x-1}{3}} \)
Se quindi riusciste per piacere a spiegarmi il procedimento, possibilmente evidenziando dove nel caso ho sbagliato, ve ne sarei assai grato!
Grazie mille!
Risposte
Non elevare al quadrato ricorda piuttosto che $sqrtx =x^(1/2) $ e applica la conversione da radice n-esima a esponente $(1/n)$ .
$ sqrt(25^x*root(3)(3^(x-1)))= 5^x*3^((x-1)/6)$
Ok ?
$ sqrt(25^x*root(3)(3^(x-1)))= 5^x*3^((x-1)/6)$
Ok ?
Grazie mille Camillo. Purtroppo però rimango bloccato lo stesso 
Ho provato ad applicare lo stesso procedimento anche a primo membro (sperando serva a qualcosa), ma poi non so proprio come andare avanti cavolo...
\( \frac{3^{\frac{2x+3}{2}}}{625}=5^{x}3^{\frac{x-1}{6}} \)
Se non è troppo problematico, riusciresti (o se tu non puoi, qualche altra buon'anima
) a guidarmi alla soluzione tramite i vari passaggi?
Ancora grazie
Ho provato ad applicare lo stesso procedimento anche a primo membro (sperando serva a qualcosa), ma poi non so proprio come andare avanti cavolo...
\( \frac{3^{\frac{2x+3}{2}}}{625}=5^{x}3^{\frac{x-1}{6}} \)
Se non è troppo problematico, riusciresti (o se tu non puoi, qualche altra buon'anima
) a guidarmi alla soluzione tramite i vari passaggi?Ancora grazie
$3^((2x+3)/2)*5^(-2) = 5^x*3^((x-1)/6) $
da cui $(2x+3)/2 = (x-1)/6 $ ,$rarr x=-2$ uguaglio gli esponenti del 3
$x=-2 $ uguaglio gli esponenti del 5 .
da cui $(2x+3)/2 = (x-1)/6 $ ,$rarr x=-2$ uguaglio gli esponenti del 3
$x=-2 $ uguaglio gli esponenti del 5 .
"Camillo":
$3^((2x+3)/2)*5^(-2) = 5^x*3^((x-1)/6) $
da cui $(2x+3)/2 = (x-1)/6 $ ,$rarr x=-2$ uguaglio gli esponenti del 3
$x=-2 $ uguaglio gli esponenti del 5 .
Grazie mille Camillo, davvero gentilissimo e scusa per il disturbo!
(Non sapevo potessi fare come hai fatto tu, cioè eguagliare gli esponenti "una base alla volta", cioè prima hai uguagliato quelli del 3 e poi quelli del 5...credevo si potessero uguagliare gli esponenti solo una volta ottenute sì più potenze con diversi esponenti, ma tutti con la stessa base...)
Buona serata e ancora grazie!
Più in generale quando si abbiano potenze con basi diverse conviene portare da una parte quelle riguardanti una base ad es. 3 , e dall'altra l'altra base , 5 ottenendo :
$3^((2x+3)/2-(x-1)/6)= 5^(x+2) $
Perché potenze con basi diverse siano uguali bisogna che gli esponenti valgano $0 $ da cui $(2x+3)/2-(x-1)/6=0 $ che porta a $x=-2 $ come si deduce anche subito dall'esponente del $5 $.
$3^((2x+3)/2-(x-1)/6)= 5^(x+2) $
Perché potenze con basi diverse siano uguali bisogna che gli esponenti valgano $0 $ da cui $(2x+3)/2-(x-1)/6=0 $ che porta a $x=-2 $ come si deduce anche subito dall'esponente del $5 $.
Prima che murch si faccia idee sbagliate penso che sia opportuno precisare che quella indicata da Camillo è una bella scorciatoia ma non è sempre applicabile; ad esempio, non si può usare il suo ragionamento per risolvere l'equazione
$3^x=5^(x+2)$
La strada maestra è fare i calcoli ad esponente, arrivando a
[size=150]$3^((5x+10)/6)=5^(x+2)->(3^(5/6))^(x+2)=5^(x+2)$[/size]
Abbiamo due potenze con lo stesso esponente ma basi positive e diverse; possono essere uguali solo se l'esponente è zero.
$3^x=5^(x+2)$
La strada maestra è fare i calcoli ad esponente, arrivando a
[size=150]$3^((5x+10)/6)=5^(x+2)->(3^(5/6))^(x+2)=5^(x+2)$[/size]
Abbiamo due potenze con lo stesso esponente ma basi positive e diverse; possono essere uguali solo se l'esponente è zero.
Qualcosa non mi torna in quanto $x=-2$ non è soluzione dell'equazione $ 3^x =5^(x+2)$
E' proprio quello che intendevo: non si può guardare l'esponente di una sola base. Tu, giustamente, ne hai eguagliato a zero uno e poi hai controllato che la soluzione così trovata andasse bene anche per l'altro ma la cosa può essere fraintesa; prova ne sia che murch ha scritto:
"Non sapevo potessi fare come hai fatto tu, cioè eguagliare gli esponenti "una base alla volta", cioè prima hai uguagliato quelli del 3 e poi quelli del 5...credevo si potessero uguagliare gli esponenti solo una volta ottenute sì più potenze con diversi esponenti, ma tutti con la stessa base.."
Il mio intervento mirava a chiarire questa sua interpretazione, non a correggere te.
"Non sapevo potessi fare come hai fatto tu, cioè eguagliare gli esponenti "una base alla volta", cioè prima hai uguagliato quelli del 3 e poi quelli del 5...credevo si potessero uguagliare gli esponenti solo una volta ottenute sì più potenze con diversi esponenti, ma tutti con la stessa base.."
Il mio intervento mirava a chiarire questa sua interpretazione, non a correggere te.
Ok gianmaria hai fatto bene a chiarire le cose
"giammaria":
E' proprio quello che intendevo: non si può guardare l'esponente di una sola base. Tu, giustamente, ne hai eguagliato a zero uno e poi hai controllato che la soluzione così trovata andasse bene anche per l'altro ma la cosa può essere fraintesa; prova ne sia che murch ha scritto:
"Non sapevo potessi fare come hai fatto tu, cioè eguagliare gli esponenti "una base alla volta", cioè prima hai uguagliato quelli del 3 e poi quelli del 5...credevo si potessero uguagliare gli esponenti solo una volta ottenute sì più potenze con diversi esponenti, ma tutti con la stessa base.."
Il mio intervento mirava a chiarire questa sua interpretazione, non a correggere te.
Grazie mille Giammaria e Camillo!
Ma quindi scusate, una volta arrivato a
[size=150]$ 3^((5x+10)/6)=5^(x+2)->(3^(5/6))^(x+2)=5^(x+2) $[/size] dato che le basi sono diverse e l'esponente NON è uguale a zero (seppur i due esponenti sono gli stessi), posso allora comunque procedere come ha fatto Camillo e dunque uguagliare a zero un esponente e poi vedere se ottengo la stessa soluzione per l'altro (nel caso ne ottenga diversa immagino non vada bene, no?)?
Mentre questa equazione che hai scritto tu, Giammaria, allora come la risolvereste, solo con i logaritmi senza poter eguagliare in alcun modo gli esponenti, no?
$ 3^x=5^(x+2) $
Sempre grazie mille!
E chi ha detto che l'esponente NON è zero? L'eguaglianza vale solo se lo è, quindi deve essere
$x+2=0->x=-2$
Quanto alla seconda equazione, hai ragione e, dando al logaritmo una base qualsiasi che non scrivo, devi continuare con
$log3^x=log5^(x+2)->xlog3=(x+2)log5->x(log3-log5)=2log5->x=(2log5)/(log3-log5)$
Se ti piace, puoi continuare con
[size=120]$=(log25)/(logfrac 3 5)$[/size]
$x+2=0->x=-2$
Quanto alla seconda equazione, hai ragione e, dando al logaritmo una base qualsiasi che non scrivo, devi continuare con
$log3^x=log5^(x+2)->xlog3=(x+2)log5->x(log3-log5)=2log5->x=(2log5)/(log3-log5)$
Se ti piace, puoi continuare con
[size=120]$=(log25)/(logfrac 3 5)$[/size]
"Abbiamo due potenze con lo stesso esponente ma basi positive e diverse; possono essere uguali solo se l'esponente è zero." Facevo riferimento a quanto avevi detto, ma credo di essermi espresso male...Ho compreso che devo uguagliare io un esponente a 0 ( x+2 = 0 - che eleva il 3^5/6) e poi verificando che la soluzione ottenuta in questo caso, x=-2, vada bene anche per l'altra potenza- nel senso faccia eguagliare a 0 anche l'esponente dell'altra base, 5.
Quindi non prendere "singolarmente" gli esponenti di basi diverse trattandoli separatamente, ma verificare che la soluzione di uno, vada bene anche anche per l'altro.
Grazie ancora e buon weekend!
Quindi non prendere "singolarmente" gli esponenti di basi diverse trattandoli separatamente, ma verificare che la soluzione di uno, vada bene anche anche per l'altro.
Grazie ancora e buon weekend!
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