Equazione esponenziale

[Lucrezio1]

Salve!
Ho un problema con la seguente equazione esponenziale:

$(sqrt(2))^x +(sqrt(2))^(x-1)=2(sqrt(2)+1)$...
Con le proprietà delle potenze arrivo a: $(sqrt(2))^x + ((sqrt(2))^x)/sqrt(2)=2(sqrt(2)+1)$ e poi, facendo i calcoli e razionalizzando arrivo a niente meno che : $4*(sqrt(2)+1)/(2+sqrt(2))=(sqrt(2))^x$...

Cos'ho sbagliato? Datemi una mano per piacere

[fedran]

prova a sostituire $(sqrt(2)^x)=t$....

[fedran]

e, cmq, se razionalizzi il tuo risultato, ottieni lo stesso la soluzione che dovrebbe essere 3!

[Lucrezio1]

Ma razionalizzando a me esce $2sqrt(2)=sqrt(2)^x$ :S

[fedran]

"Lucrezio":Ma razionalizzando a me esce $2sqrt(2)=sqrt(2)^x$ :S

..e prova a "portare" dentro la radice il 2 che sta fuori, poi elimina le 2 radici con gli esp frazionari....

[chiaraotta1]

Io farei così:
$(sqrt(2))^x + (sqrt(2))^(x - 1) = 2 * (sqrt(2) + 1)$
$(sqrt(2))^x + ((sqrt(2))^x)/sqrt(2) = 2 * (sqrt(2) + 1)$
$sqrt(2) * (sqrt(2))^x + (sqrt(2))^x = 2 * sqrt(2) * (sqrt(2) + 1)$
$(sqrt(2))^x * (sqrt(2) + 1) = 2 * sqrt(2) * (sqrt(2) + 1)$
$(sqrt(2))^x = 2 * sqrt(2)$
$ 2^(x/2) = 2^(3/2)$
$x/2 = 3/2$
$x = 3$

[Lucrezio1]

Ah ecco grazie! Però, che bella trovata

[Lucrezio1]

Matematici, ho un'altra brutta equazione esponenziale:
$5^x/(5^x+1)=1+1/(25^x-1)$.
Mi è venuta subito la tentazione di sostituire il $5^x$ con un'incognita ausiliaria, ma mi escono due soluzioni per l'incognita: 2 e -1, che poi non mi aiutano. Come devo fare?

[chiaraotta1]

Da $5^x/(5^x + 1) = 1 + 1/(25^x - 1)$, se si nota che $25^x - 1 = 5^(2x) - 1 = (5^x - 1) * (5^x + 1)$, moltiplicando l'equazione per il denominatore comune che è appunto $(5^x - 1) * (5^x + 1)$ si ottiene $5^x * (5^x - 1) = 5^(2x) - 1 + 1$. Da questa si ha $5^(2x) - 5^x - 5^(2x) = 0$ e cioè $5^x = 0$. Questa equazione non ha soluzioni.

[Lucrezio1]

Giusto, grazie molte ancora chiaraotta!