Equazione esponenziale
Risolvere:
$x^(x^2-1)=1
$x^(x^2-1)=1
Risposte
Basta scrivere $x^(x^2-1) = e^((x^2-1)logx)
(ovviamente la funzione $x^(x^2-1)$ è definita
per $x>0$) e risolvere l'equazione $(x^2-1)logx = 0$
con $x in RR^+$, e si trova immediatamente
che $x=1$ è l'unica soluzione appartenente
all'insieme dei reali positivi.
(ovviamente la funzione $x^(x^2-1)$ è definita
per $x>0$) e risolvere l'equazione $(x^2-1)logx = 0$
con $x in RR^+$, e si trova immediatamente
che $x=1$ è l'unica soluzione appartenente
all'insieme dei reali positivi.
c'è un esercizio del volume B del dodero a pag 47......è sbagliato?
si poteva fare il $log_(x)$ a entrambi i membri, e poi trovare le soluzioni x, stando attento a cosa accettare e cosa no?
ciao
ciao
No, perché così escludi proprio l'UNICA
soluzione dell'equazione che è $x=1$!
Ricorda che il logaritmo in base 1 non è definito!
soluzione dell'equazione che è $x=1$!
Ricorda che il logaritmo in base 1 non è definito!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
...scivolone...perdonatemi in fondo è agosto anche per me 
ciao
"ENEA84":
c'è un esercizio del volume B del dodero a pag 47......è sbagliato?
Io non ho il volume B; quale sarebbe la traccia?
Scusate ma non si poteva scrivere:
$x^(x^2-1)=x^0$ da cui $x^2-1=0$ e quindi $x=1$?
karl
$x^(x^2-1)=x^0$ da cui $x^2-1=0$ e quindi $x=1$?
karl
"karl":
Scusate ma non si poteva scrivere:
$x^(x^2-1)=x^0$ da cui $x^2-1=0$ e quindi $x=1$?
karl
certo che si,ma volevo vedere se c'era qualcuno chje lo risolveva come il dodero
"laura.todisco":
[quote="ENEA84"]c'è un esercizio del volume B del dodero a pag 47......è sbagliato?
Io non ho il volume B; quale sarebbe la traccia?[/quote]
Risolvere :
$x^(4x)=1
Tutte le funzioni del tipo $(f(x))^(g(x))$ si trattano
allo stesso modo, ovvero si scrive:
$(f(x))^(g(x))=e^(g(x)logf(x))$,
cosa che è del tutto lecita dal momento che
$(f(x))^(g(x))$ è definita per tutti gli $x in RR$
tali che $f(x)>0$. Scriviamo quindi:
$e^(4x log x) = e^0$
da cui
$4x log x = 0$
la cui unica soluzione accettabile è quella
data dall'equazione $logx=0 <=> x=1$.
allo stesso modo, ovvero si scrive:
$(f(x))^(g(x))=e^(g(x)logf(x))$,
cosa che è del tutto lecita dal momento che
$(f(x))^(g(x))$ è definita per tutti gli $x in RR$
tali che $f(x)>0$. Scriviamo quindi:
$e^(4x log x) = e^0$
da cui
$4x log x = 0$
la cui unica soluzione accettabile è quella
data dall'equazione $logx=0 <=> x=1$.
Ecco la "fantascientifica" soluzione del Dodero:
"..........(bla,bla,bla).......Tale equazione non ha senso per $x=0$,mentre ha certamente significato se è $x>0$.Per valori negativi di $x$ il primo membro è definito solo se l'esponente $4x$ è intero,cioè $x=-K/4$, con $k in NN_0$.
Primo caso:$x in RR^+$.
Essendo positiva la base di $x^(4x)$,possiamo prendere i logaritmi decimali di entrambi i membri: $Logx^(4x)=Log1=0$; applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo $x=0$ (non accettabile) e $x=1$.
Secondo caso:$x=-k/4,k in NN_0$.
Essendo $x<0$, non possiamo applicare i logaritmi.Riscriviamo l'equazione ricordando che $x=-k/4$:$(-k/4)^-k=1,K=1,2,....$
Se k è dispari il primo membro dell'equazione è negativo e l'equazione non può essere verificata.
Se k è pari si avrà:$(-k/4)^-k=(k/4)^-k$ e l'equazione si può riscrivere:$(k/4)^-k=1$.
Essendo ora la base positiva, prendiamo i logaritmi di ambo i membri:$Log(k/4)^-k=Log1=0$ da cui $k=0$(non accettabile),$k=4$ da cui $x=-1$.
Pertanto le soluzioni dell'equazione sono $x=+-1$".
Ma ciò non è in contraddizione con la premessa fatta(Tale equazione non ha senso per $x=0$,mentre ha certamente significato se è $x>0$)????? mah.....
"..........(bla,bla,bla).......Tale equazione non ha senso per $x=0$,mentre ha certamente significato se è $x>0$.Per valori negativi di $x$ il primo membro è definito solo se l'esponente $4x$ è intero,cioè $x=-K/4$, con $k in NN_0$.
Primo caso:$x in RR^+$.
Essendo positiva la base di $x^(4x)$,possiamo prendere i logaritmi decimali di entrambi i membri: $Logx^(4x)=Log1=0$; applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo $x=0$ (non accettabile) e $x=1$.
Secondo caso:$x=-k/4,k in NN_0$.
Essendo $x<0$, non possiamo applicare i logaritmi.Riscriviamo l'equazione ricordando che $x=-k/4$:$(-k/4)^-k=1,K=1,2,....$
Se k è dispari il primo membro dell'equazione è negativo e l'equazione non può essere verificata.
Se k è pari si avrà:$(-k/4)^-k=(k/4)^-k$ e l'equazione si può riscrivere:$(k/4)^-k=1$.
Essendo ora la base positiva, prendiamo i logaritmi di ambo i membri:$Log(k/4)^-k=Log1=0$ da cui $k=0$(non accettabile),$k=4$ da cui $x=-1$.
Pertanto le soluzioni dell'equazione sono $x=+-1$".
Ma ciò non è in contraddizione con la premessa fatta(Tale equazione non ha senso per $x=0$,mentre ha certamente significato se è $x>0$)????? mah.....
"ENEA84":
Ma ciò non è in contraddizione con la premessa fatta(Tale equazione non ha senso per $x=0$,mentre ha certamente significato se è $x>0$)????? mah.....
ovviamente non è minimamente in contraddizione
e la soluzione di Dodero è chiara
nessuno lo obbliga a considerare solo "le potenze ad esponente reale"
non capisco,in primis dice di considerare solo le $x>0$ e poi accetta il valore $x=-1$....boh
Il Dodero è un libro per le superiori che gioca
a fare il rigoroso come i testi universitari,
ma che facilmente cade in errori idioti...
Mi fermo qui.
a fare il rigoroso come i testi universitari,
ma che facilmente cade in errori idioti...
Mi fermo qui.
Una domanda per ENEA84.
Poiche' i tuoi post spaziano dalle 4 operazioni agli integrali tripli,lo fai per te
o per saggiare le conoscenze degli altri ?
karl
Poiche' i tuoi post spaziano dalle 4 operazioni agli integrali tripli,lo fai per te
o per saggiare le conoscenze degli altri ?
karl
"in primis dice di considerare solo le $x>0$"
dove?
NON lo dice
Dice che:
"ha certamente significato se è $x>0$"
NON dice che ha significato SOLO per $x>0$
mi sembrava che ci fosse una certa differenza fra "se" e "solo se"
ma forse mi sbaglio
dove?
NON lo dice
Dice che:
"ha certamente significato se è $x>0$"
NON dice che ha significato SOLO per $x>0$
mi sembrava che ci fosse una certa differenza fra "se" e "solo se"
ma forse mi sbaglio
"karl":
Una domanda per ENEA84.
Poiche' i tuoi post spaziano dalle 4 operazioni agli integrali tripli,lo fai per te
o per saggiare le conoscenze degli altri ?
karl
Per me e per gli altri,perchè?
Ho chiesto perche' cosi' la prossima volta rispondo non cercando
la via piu' semplice ( come mi sforzo di fare e come purtroppo
non sempre riesco) ma quella piu' scolastica.
Naturalmente sei libero di dirmi di non rispondere per niente!
karl
la via piu' semplice ( come mi sforzo di fare e come purtroppo
non sempre riesco) ma quella piu' scolastica.
Naturalmente sei libero di dirmi di non rispondere per niente!
karl
Puoi rispondere...il forum è libero! ci mancherebbe!!!e poi sei in gamba,quindi....
Non ho capito perchè dici di dover rispondere cercando la via scolastica invece di quella + semplice....boh
Non ho capito perchè dici di dover rispondere cercando la via scolastica invece di quella + semplice....boh
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