Equazione esponenziale

[simki]

Non riesco a risolvere la seguente equazione, che passaggi devo effettuare?
$ 3^{5/6x+5/3}=5^{x+2} $
Ho provato anche a portarla nella forma logaritmica, cioè
$ (5/6x+5/36)log_e3 = (x+2)log_e5 $
Ma anche qui non so come procedere.

[axpgn]

Che problema c'è, $ln 3$ e $ln 5$ non sono altro che numeri come $3$ e $5$ ...

[giammaria2]

Il modo giusto è proprio portarla nella forma logaritmica e poi pensare che i due logaritmi sono numeri come tutti gli altri (come detto da axpgn, mentre io scrivevo questa risposta): togli le parentesi facendo i prodotti, porta a primo membro i termini con l'incognita ed a secondo membro gli altri, eccetera.

Oppure puoi scrivere l'equazione nella forma
$3^((x+2)/6)=5^(x+2)->(3^(1/6))^(x+2)=5^(x+2)$
Le basi sono diverse, quindi l'unica possibilità è che l'esponente valga 0.

[simki]

"giammaria":
Le basi sono diverse, quindi l'unica possibilità è che l'esponente valga 0.

Ecco è stato questo ciò a cui avevo pensato. Ma questo è sempre vero? Cioè è sempre vero che se ho due esponenziali con basi diverse che si eguagliano, l'unica soluzione che soddisfa l'equazione è quella che rende l'esponente uguale a 0?

[giammaria2]

Sì, è sempre vero purché si tratti di basi positive e ci sia lo stesso esponente.
Dimostrazione: dette $a,b$ le due basi (con $a!=b)$) si ha
$a^x=b^x->a^x/b^x=1->(a/b)^x=1->x=0$
Si tratta però di una proprietà poco usata; nei rapporti col tuo professore forse è più prudente fare i calcoli, o passando ai logaritmi o comportandosi come nella mia dimostrazione.

[simki]

Grazie mille.