Equazione esponenziale

[mathos2000]

Se io ho questa equazione esponenziale:

$3^(x+1/2)-3^x=9(sqrt3-1)$

La svolgo:

$3^(x+1/2)-3^x=3^(5/2)-3^2$

A questo punto ecco il dubbio: posso passare direttamente a lavorare con i soli esponenti, oppure
perchè le varie basi (ricondotte tutte a 3) sono in somma è un errore?

Tuttavia se la svolgo nel modo proposto ottengo $x=2$ e dalla verifica sostituendo alla x il numero 2 esce fuori l'identità 0=0 (quindi o è giusto il metodo utilizzato o è un caso che sia venuta).

Pertanto la domanda è: posso passare, una volta ricondotta l'equazione alla stessa base (in questo caso 3) a lavorare con gli esponenti quando le basi sono in somma?

P.S. Quando l'ho svolta (nel modo proposto; al momento di passare a lavorare con gli esponenti) ho tenuto conto dei segni degli esponenti, non delle basi, dunque:

$x+1/2+x=5/2+2$

[@melia]

Non puoi passare a fare i calcoli con i soli esponenti, perché è una somma. Il risultato è giusto per caso.
$3^(x+1/2)-3^x=3^(5/2)-3^2$ diventa $3^x(3^(1/2)-1)-3^2(3^(1/2)-1)=0$ da cui $(3^x-3^2)(3^(1/2)-1)=0$ il secondo fattore non si annulla mai, quindi $3^x-3^2=0$ perciò $x=2$

[mathos2000]

La ringranzio per la risposta.
E se io avessi $(sqrt2)^x+(sqrt2)^(x-1)=2(sqrt2+1)$,
trasformandola in $2^(x/2)+2^((x-1)/2)=2(2^(1/2)+2^0)$
e dunque in $2^(x/2)+2^((x-1)/2)=2^(3/2)+2$ dovrei procedere in modo analogo?

[ipaxo]

sì, l'esercizio è del tutto analogo, solo che questa volta devi mettere in evidenza \(\displaystyle (\sqrt{2})^{x-1} \)

[mathos2000]

E dunque come verrebbe?

Da $2^(x/2)+2^((x-1)/2)=2^(3/2)+2$

si arriverebbe a $2^((x-1)/2)(2...?)$

[igiul1]

$ 2^(x/2)+2^((x-1)/2)=2^(3/2)+2 $

$ 2^((x-1)/2)(2^(1/2)+1)=2(2^(1/2)+1)$

$(x-1)/2=1$