Equazione ellisse

[Gianmagav]

scrivi l'equazione dell ellisse passante per i punti p(radice di3;3) e Q (2;-1)

[f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103]

Ciao,
abbiamo l'equazione canonica dell'ellisse:

[math]\eta : \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/math]

Imponiamo il passaggio per i due punti:

[math]P(\sqrt{3},3)[/math]

e

[math]Q(2,-1)[/math]

Abbiamo che:

[math]P\in \eta \Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{3^{2}}{b^{2}}=1[/math]

da cui , otteniamo la prima equazione:

[math]\frac{3}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1[/math]

Imponiamo ora il passaggio per Q:

[math]P\in \eta \Leftrightarrow \frac{2^{2}}{a^{2}}+\frac{(-1)^{2}}{b^{2}}=1[/math]

da cui , otteniamo la seconda equazione:

[math]\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1[/math]

Ora impostiamo il sistema:

[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{3}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1 & \\
\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1 &
\end{matrix}\right.[/math]

Poniamo per linearizzare il problema:

[math]u=\frac{1}{a^{2}} [/math]

e

[math]v=\frac{1}{b^{2}}[/math]

il sistema diventa:

[math]\left\{\begin{matrix}
3u+9v=1 & \\
4u+v=1 &
\end{matrix}\right.[/math]

procedendo per sostituzione:

[math]\left\{\begin{matrix}
3u+9v=1 & \\
v=1-4u &
\end{matrix}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{matrix}
3u+9(1-4u)=1 & \\
v=1-4u &
\end{matrix}\right.[/math]

da cui

3u+9-36u=1;
-33u=1-9;
-33u=-8
33u=8
u=8/33

sostituiamo u nella seconda equazione:
v=1-4(8/33)=1-32/33=1/33

abbiamo quindi trovato che:

[math]u=\frac{1}{a^{2}}=\frac{8}{33}[/math]

mentre

[math]v=\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{33}[/math]

l'equazione dell'ellisse è quindi:

[math]\eta : \frac{8x^{2}}{33}+\frac{y^{2}}{33}=1 [/math]

spero di esserti stato di aiuto.
se hai bisogno,chiedi pure.
saluti :-)