Equazione e Disequazione goniometrica

[Nimrud]

Ciao Belli, qualche ragazzo di buon cuore mi può spiegare come faccio a risolvere queste 2 formule, non riesco a trovare testi siti che mi spieghino con chiarezza questi casi precisi

$ tanx+sinx=sin2x $ con $ x in[0,2π]$

$ 2cos2x+1≥0 $ con $ x in[0,2π]$

[SIV1]

Prendi con le pinze ciò che sto per scrivere!!

Per la prima io ad occhio e croce farei così:
$tan(x)+sen(x)=sen(2x)$
$\frac{sen(x)}{cos(x)}+sen(x)=sen(2x)$
Faccio il minimo comune multiplo al primo membro e sviluppo con le formule di addizione (per non imparare anche quelle di sdoppiamento) il secondo membro:
$\frac{sen(x)+sen(x)cos(x)}{cos(x)}=sen(x)cos(x)+cos(x)sen(x)$
$\frac{sen(x)+sen(x)cos(x)}{cos(x)}=2sen(x)cos(x)$
$\frac{sen(x)+sen(x)cos(x)}{cos(x)}-2sen(x)cos(x)=0$
$sen(x)+sen(x)cos(x)-2sen(x)cos^2(x)=0$
$sen(x)(1+cosx-2cos^2(x))=0$

Ora dovrebbero essere zero o uno o l'altro:
$sen(x)=0 <=> ...$
$1+cosx-2cos^2(x)=2cos^2(x)-cos(x)-1=0 <=> ...Risolvendo l'equazione ponendo t=cosx?...$

[giammaria2]

La seconda è facile: c'è una sola funzione goniometrica, quindi la ricavi, ne deduci l'argomento (senza dimenticare la sua periodicità) e da quel risultato ricavi $x$. Così:
$cos2x>=-1/2$, quindi $2x$ è compreso fra ... ; dividendo per 2, $x$ è compreso fra ...
La prima è un po' più complessa: c'è una tangente, quindi devi inizialmente trovare il dominio, escludendo alcuni valori. Poi non è chiaro cosa fare: in questi casi si comincia a trasformare tutto in seno e coseno di $x$:
$(sin x)/(cos x)+sin x=2sin xcos x$
Dai denominatore comune, riduci eventuali termini simile (qui non ce ne sono) e poi cominci a ragionare: nel tuo caso conviene portare tutto allo stesso membro, mettere in evidenza quello che si può ed applicare la legge di annullamento del prodotto.

Attento, SIV: quando dai denominatore comune, l'ultimo coseno deve essere elevato a quadrato. A parte questa svista (che modifica i calcoli successivi), va bene. Qualche neo iniziale: hai dimenticato di trovare il dominio ed è meglio usare la formula di duplicazione che quella di somma.

[SIV1]

Vero, ho corretto l'errore madornale. Spero non ce ne siano troppi altri

Comunque, perchè non usare la formula di addizione e porre "alfa" uguale a "beta", anzichè ricordarsi anche quella di duplicazione?

[giammaria2]

Perché si risparmia un passaggio; inoltre il sapere subito quale sarà il risultato può aiutare a scegliere il metodo di risoluzione.

[Nimrud]

se vi può aiutare i risultati sono:

Per la prima:

$ 0 , 2π/3 , π , 4π/3 $ e così via...

Per la seconda:

$ [0,π/3]U[2π/3,4π/3]U[5π/3,2π] $

Per quanto riguarda le identità sono verificate, e per la semplificazione a seno e coseno ci sono arrivato, ma è proprio il procedimento e il principio per arrivare a queste soluzioni mi manca

[Nimrud]

La prima risolta ragazzi, per quanto riguarda la seconda algebricamente da questa $ cos2x>=-1/2 $ son arrivato a $ x>=60° $ mentre il risultato è questo $ [0,π3]U[2π3,4π3]U[5π3,2π] $, ne deduco che forse ho sbagliato il procedimento, oppure devo prendere in considerazione gli angoli e i periodici che rendono falsa la disequazione, oppure semplicemente quelli diversi dalla x???

[giammaria2]

Per favore, per scrivere $pi$ usa la scritta pi ; sul mio computer il simbolo da te usato viene indicato con due punti interrogativi. Inoltre, se il tuo libro dà la soluzione in radianti, è bene che anche tu li usi in tutti i tuoi calcoli; comunque userò anch'io i gradi perché mi pare che tu li trovi più facili e non voglio distogliere la tua attenzione da altri argomenti.

Veniamo ora al tuo esercizio, correggendone gli errori. Se ben capisco, il tuo ragionamento è stato questo:
$cos2x=-1/2->2x=120^o->x=60^o$
e poi hai messo il $>=$ al posto del semplice uguale. SBAGLIATISSIMO!!
In primo luogo, la soluzione di una disequazione goniometrica non è mai del tipo $x>alpha$, perché questo significherebbe che sul cerchio goniometrico puoi partire da $alpha$ e ruotare a piacimento in senso positivo, coprendo così tutto il cerchio; ammesso che la disequazione non sia sempre vera o sempre falsa, la soluzione è sempre del tipo $alpha+k*360^o In secondo luogo, osserva il cerchio goniometrico: tu vuoi che il coseno sia maggiore di $-1/2$, cioè vuoi essere a destra del punto in cui vale l'uguale: vedi subito che questo succede quando l'angolo NON è compreso fra 120° e 240°. Decidendo di usare solo numeri positivi, la soluzione è quindi
$(0^o +k*360^o<2x<120^o +k*360) vv (240^o +k*360^o<2x<360^o +k*360)$
Ora dividi tutto per 2, ottenendo una periodicità di 180°: questo significa che la tua soluzione va ricopiata 180° dopo oppure, se preferisci, che non devi trascurare $k$ pensando che vale zero, ma devi assegnarli i due valori 0 e 1.

[Nimrud]

Perfetto fino a quì ci sono, un'ultimo dubbio mi rimane, l'angolo $ [2pi/3,4pi/3] $ non è compreso tra quelli $ cos2x>=-1/2 $ giusto? Come mai risulta tra le soluzioni?

[giammaria2]

L'intervallo di cui parli non è compreso fra le soluzioni se pensi all'angolo $2x$, ma lo è se pensi ad $x$. Volendo usare valori positivi, abbiamo spezzato la soluzione in due intervalli (che diventano 4 dopo aver dimezzato); nella soluzione finale, relativa ad $x$, ci sono gli intervalli $[(2 pi)/3, pi]$ e $[pi, (4 pi)/3]$ che, uniti assieme, danno proprio $[(2 pi)/3, (4 pi)/3]$