Equazione disecondo grado letterale intera

[GualtieroMalghesi]

Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di una delucidazione riguardo la discussione della seguente equazione di secondo grado letterale intera:

$x^2-3asqrt(a)x+2a^3=0$

I coefficienti dei termini sono: $a=1; b=3asqrt(a); c=2a^3$

Calcolo il $\Delta$ e trovo che è uguale a $a^3$

Ora devo discutere i casi in cui $a$ è positivo, nullo o negativo.

Se $a<0$ $\Delta<0$ non esistono soluzioni reali;

Qui arriva il punto che non mi è chiaro. Il libro mi da come soluzione: $a>=0\to x1=asqrt(a), x2=2asqrt(a)$

Ma se $a=0$ allora $\Delta=0$ quindi le soluzioni sarebbero coincidenti $x1,2=0$

mentre se $a>0$ $\Delta>0$ le soluzioni sarebbero reali e distinte, cioè $x1=asqrt(a), x2=2asqrt(a)$

Potete chiarirmi questo punto?

Grazie.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"GualtieroMalghesi":

Qui arriva il punto che non mi è chiaro. Il libro mi da come soluzione: $ a>=0\to x1=asqrt(a), x2=2asqrt(a) $

Ma se $ a=0 $ allora $ \Delta=0 $ quindi le soluzioni sarebbero coincidenti $ x1,2=0 $

mentre se $ a>0 $ $ \Delta>0 $ le soluzioni sarebbero reali e distinte, cioè $ x1=asqrt(a), x2=2asqrt(a) $

Non vedo quale sia il problema sono le medesime soluzioni che hai trovato te. Cosa succede se \(a=0 \) nelle soluzioni del libro?

[GualtieroMalghesi]

le soluzioni per $a=0$ il libro non le menziona. Se guardi bene il libro include la soluzione $a=0$ nella soluzione per $a>=0$, ma secondo me non è esatto.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"GualtieroMalghesi":le soluzioni per $a=0$ il libro non le menziona. Se guardi bene il libro include la soluzione $a=0$ nella soluzione per $a>=0$, ma secondo me non è esatto.

Il libro ti dice: se \( a \geq 0 \) allora le soluzioni sono bla bla.
Quindi menziona anche le soluzioni per \(a= 0 \). Prova a vedere cosa succede se \(a= 0 \) nelle soluzioni che ti dice il libro.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"GualtieroMalghesi":ma secondo me non è esatto.

Invece sono esatte!
Perché secondo te non sono corrette?

[GualtieroMalghesi]

Non capisco perché il libro non distingue i due casi:
$a=0$ e $a>0$, ma si limita al solo caso $a>=0$
Se $a=0$ le soluzioni sono coincidenti e sono pari a $0$, diversamente se $a>0$ le soluzioni sono reali e distinte.

[GualtieroMalghesi]

se $a=0$
$x^2=0$ quindi $x1,2=0$

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"GualtieroMalghesi":Non capisco perché il libro non distingue i due casi:
$ a=0 $ e $ a>0 $, ma si limita al solo caso $ a>=0 $
Se $ a=0 $ le soluzioni sono coincidenti e sono pari a $ 0 $, diversamente se $ a>0 $ le soluzioni sono reali e distinte.

Non è necessario distinguere i due casi!!

LIBRO:
Se \( a \geq 0 \) allora \( x_1 = a \sqrt{a} \) e \( x_2 = 2a \sqrt{a} \). Dire \( a \geq 0 \) è come dire \( a > 0 \) oppure \( a = 0 \).
Quindi sta includendo il caso in cui \( a= 0 \), e va bene come fa perché se \(a = 0 \) allora \( x_1 = \ldots ?? \) e \( x_2 = \ldots ?? \)
Prendi la soluzione che ti dice il libro e dimmi a cosa sono uguali \( x_1 \) e \(x_2 \) se \(a=0\).

[GualtieroMalghesi]

Se $a=0$ $x1=0$, $x2=0$
In fin dei conti $0$ è un numero come gli altri, è per questo che non fa distinzioni?
Però non sarebbe sbagliato distinguere i due casi, o no?
Grazie

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"GualtieroMalghesi":Se $ a=0 $ $ x1=0 $, $ x2=0 $
In fin dei conti $ 0 $ è un numero come gli altri, è per questo che non fa distinzioni?

Esattamente!!

"GualtieroMalghesi":
Però non sarebbe sbagliato distinguere i due casi, o no?

Non è sbagliato ne come hai fatto te ne come ha fatto il libro. Vanno bene entrambe le cose. Il libro lo ha scritto in modo più compatto senza star lì a distinguere perché era sufficiente distinguere \( a < 0 \) ed \( a \geq 0 \). Ma va bene fare anche \( a < 0 \), \( a= 0 \), \( a > 0 \), proprio perché dire \( a \geq 0 \) è la stessa cosa di dire \( a > 0 \) oppure \( a= 0 \).

[GualtieroMalghesi]

Grazie mille, molto gentile.