Equazione Diofantea
Ho finito la teoria sulle equazioni Diofantee di primo grado, e mi sono andato a cercare una così:
$3x+12y-9z=15$
$MCD(3,12)=3$ e $MCD(3,9)=3$ inoltre $3|15$ dunque ammette soluzioni intere
$3x+12y-9z=3 <=> x+4y-3z=1$
una soluzione è:
$1(-1)+4(2)-3(2)=1<=>3(-5)+12(10)-9(10)=15$
Dunque $(-5,10,10)$ è una soluzione intera dell'equazione. Ora si vuole determinate la totalità delle soluzioni.
Risolvo $3x+12y-9z=0<=>y=(9z-3x)/12$
Ovvero $y=(3z-x)/4$
dunque per risultare la soluzione intera, $z,x$ dovranno essere multipli di $4$. pongo:
$z=4k,x=4k$ da questo ricavo che $y=3k-k=2k$
la totalità sarà data da:
$(-5+4k,10+2k,10+4k),kinZZ$
È corretto?
$3x+12y-9z=15$
$MCD(3,12)=3$ e $MCD(3,9)=3$ inoltre $3|15$ dunque ammette soluzioni intere
$3x+12y-9z=3 <=> x+4y-3z=1$
una soluzione è:
$1(-1)+4(2)-3(2)=1<=>3(-5)+12(10)-9(10)=15$
Dunque $(-5,10,10)$ è una soluzione intera dell'equazione. Ora si vuole determinate la totalità delle soluzioni.
Risolvo $3x+12y-9z=0<=>y=(9z-3x)/12$
Ovvero $y=(3z-x)/4$
dunque per risultare la soluzione intera, $z,x$ dovranno essere multipli di $4$. pongo:
$z=4k,x=4k$ da questo ricavo che $y=3k-k=2k$
la totalità sarà data da:
$(-5+4k,10+2k,10+4k),kinZZ$
È corretto?
Risposte
No, Anto: sostieni alcune cose corrette mischiate ad altre molto strane.
Visto che l'equazione, come hai notato, è divisibile per $ 3 $, tanto vale farlo e dimenticarsi di quella iniziale che sarà sicuramente verificata per i valori che soddisfano la seconda.
I coefficienti (dopo la semplificazione) sono, a due a due, coprimi e questo garantisce che l'equazione ammetta soluzioni.
Le incognite sono tre e questo aumenta il numero di parametri arbitrari, rispetto alle consuete con due incognite.
La $ x $ ha coefficiente $ 1 $ e perciò la soluzione generale sarà semplicemente $ x=5-4y+3z $ con $ y $ e $ z $ interi qualsiasi.
Ciao
B.
Visto che l'equazione, come hai notato, è divisibile per $ 3 $, tanto vale farlo e dimenticarsi di quella iniziale che sarà sicuramente verificata per i valori che soddisfano la seconda.
I coefficienti (dopo la semplificazione) sono, a due a due, coprimi e questo garantisce che l'equazione ammetta soluzioni.
Le incognite sono tre e questo aumenta il numero di parametri arbitrari, rispetto alle consuete con due incognite.
La $ x $ ha coefficiente $ 1 $ e perciò la soluzione generale sarà semplicemente $ x=5-4y+3z $ con $ y $ e $ z $ interi qualsiasi.
Ciao
B.
Si è vero ho fatto il giro largo inutilmente. Alla fine si concretizza la stessa cosa, solo che sono stato preso dalla smania di voler vedere se avessi capito tutta la teoria sulle divisioni successive, l'identità di bezout, ecc.. Grazie per avermi fatto riprendere in tempo 
uso un altro esempio senza monomi con coefficiente $1$
$44x+17y=1$ si vogliono determinare tutte le soluzioni intere.
$MCD(44,17)=1$ e ovviamente $1|1$ dunque l'equazione ammette sol. intere
ora devo ricavarmi un'identità di Bezout: potrei andare a tentativi o applicare l'algoritmo Euclideo esteso(uso questo)
$44=17*2+10$ .... $10=44-17*2$
$17=10*1+7$ .... $7=17-10*1$
$10=7*1+3$ .... $3=10-7*1$
$7=3*2+1$ ... $1=7-3*2$
$3=1*3+0$ ora mi ricavo l'identità(salto i passaggi in cui torno a ritroso)
$1=44(-5)+17(13)$ dunque $(-5,13)$ è una soluzione intera dell'equazione.
risolvo l'equazione omogenea associata $44x+17y=0 <=> y=-(44x)/17$
noto $y$ per essere un numero intero ha necessità che $x$ sia un multiplo di $17$ dunque ribattezzo:
$x=17k,kinZZ$ e ottengo $y=-44k$
tutte le soluzioni dell'equazione sono $(-5+17k,13-44k)$
uso un altro esempio senza monomi con coefficiente $1$
$44x+17y=1$ si vogliono determinare tutte le soluzioni intere.
$MCD(44,17)=1$ e ovviamente $1|1$ dunque l'equazione ammette sol. intere
ora devo ricavarmi un'identità di Bezout: potrei andare a tentativi o applicare l'algoritmo Euclideo esteso(uso questo)
$44=17*2+10$ .... $10=44-17*2$
$17=10*1+7$ .... $7=17-10*1$
$10=7*1+3$ .... $3=10-7*1$
$7=3*2+1$ ... $1=7-3*2$
$3=1*3+0$ ora mi ricavo l'identità(salto i passaggi in cui torno a ritroso)
$1=44(-5)+17(13)$ dunque $(-5,13)$ è una soluzione intera dell'equazione.
risolvo l'equazione omogenea associata $44x+17y=0 <=> y=-(44x)/17$
noto $y$ per essere un numero intero ha necessità che $x$ sia un multiplo di $17$ dunque ribattezzo:
$x=17k,kinZZ$ e ottengo $y=-44k$
tutte le soluzioni dell'equazione sono $(-5+17k,13-44k)$
"anto_zoolander":
Si è vero ho fatto il giro largo inutilmente. Alla fine si concretizza la stessa cosa...
Ho qualche dubbio.
Tu hai scritto che le soluzioni sono rappresentate dalle terne \( ( - 5 + 4k, 10 + 2k, 10 + 4k ) \) con \( k \in \mathbb{Z} \); orsolux ha invece scritto che le soluzioni sono rappresentate da \( x = 5 - 4y + 3z \) con \( y \) e \( z \) interi qualsiasi, quindi le soluzioni sono rappresentate dalle terne \( ( 5 - 4h + 3k, h, k ) \) con \( h, k \in \mathbb{Z} \).
E allora, stando a quanto scritto da orsolux, per \( h = k = 1 \) si ottiene la terna \( ( 4; 1; 1 ) \) che è soluzione di \( 3x + 12y - 9z = 15 \). Ma non è possibile ottenere questa terna partendo da \( ( - 5 + 4k, 10 + 2k, 10 + 4k ) \).
Quindi non si concretizza la stessa cosa.
O no?
si è vero, ricontrollando vengono soluzioni in meno.
Le soluzioni me le mangio nel passaggio:
$y=(3z-x)/4$?
Le soluzioni me le mangio nel passaggio:
$y=(3z-x)/4$?
"anto_zoolander":
si è vero, ricontrollando vengono soluzioni in meno.
Le soluzioni me le mangio nel passaggio:
$y=(3z-x)/4$?
Prima di questo passaggio hai scritto \( 3x + 12y -9z = 0 \). E prima ancora, in principio, dopo aver calcolato il minimo comune multiplo tra il coefficiente della \( x \) e quello della \( y \) e poi tra il coefficiente della \( x \) e quello della \( z \), hai scritto \( 3x + 12y - 9z = 3 \).
Non hai scritto complessivamente tre diverse equazioni?
Allora.. Intanto grazie perché considerando che studio da solo, il vostro aiuto è una manna dal cielo.
Per la ricerca delle soluzioni intere di un'equazione $ax+by=c$ parto cercando il $MCD(a,b)$ e vedo se $d|c$
Supponiamo che $d|c$ il passo successivo è la ricerca di in identità di Bezout.
$ax_0+by_0=d$ essendo che $c=dc'$ moltiplico per un opportuno $c'$ ottenendo una soluzione dell'equazione di partenza
$a(x_0*c')+b(y_0*c')=c$ da quì mi sono ricavato la soluzione particolare che ho scritto.
Ora considero l'omogenea associata del tipo $a'x+b'y=0$ da questa ricavo che $y=-(a')/(b')x$ e considero che per avere una soluzione intera, essendo $a',b'$ coprimi, deve essere $x=b'k,kinZZ$
Da qui mi ricavo la totalità delle soluzioni.
Penso a questo punto di essermi mangiato da solo le soluzioni.
Per la ricerca delle soluzioni intere di un'equazione $ax+by=c$ parto cercando il $MCD(a,b)$ e vedo se $d|c$
Supponiamo che $d|c$ il passo successivo è la ricerca di in identità di Bezout.
$ax_0+by_0=d$ essendo che $c=dc'$ moltiplico per un opportuno $c'$ ottenendo una soluzione dell'equazione di partenza
$a(x_0*c')+b(y_0*c')=c$ da quì mi sono ricavato la soluzione particolare che ho scritto.
Ora considero l'omogenea associata del tipo $a'x+b'y=0$ da questa ricavo che $y=-(a')/(b')x$ e considero che per avere una soluzione intera, essendo $a',b'$ coprimi, deve essere $x=b'k,kinZZ$
Da qui mi ricavo la totalità delle soluzioni.
Penso a questo punto di essermi mangiato da solo le soluzioni.
1. Non mi risulta che l'equazione omogenea associata porti direttamente alle soluzioni dell'equazione diofantea iniziale.
2. La prima equazione che hai proposto era a tre incognite mentre lo schema generale che hai proposto nel tuo ultimo intervento è riferito alle equazioni in due incognite.
2. La prima equazione che hai proposto era a tre incognite mentre lo schema generale che hai proposto nel tuo ultimo intervento è riferito alle equazioni in due incognite.
1) naturalmente intendo sommo ad una soluzione particolare della prima, le soluzioni della omogenea.
2) e quì mi sa che cade l'errore.
2) e quì mi sa che cade l'errore.
Allora.
Partiamo da questo: il procedimento che hai esposto per la risoluzione di un'equazione diofantea in due incognite si può generalizzare sicché possiamo dire che data l'equazione diofantea \( ax + by = c \), questa ammetta soluzioni se e solo se \( \text{MCD}(a,b) = d \mid c \) e tutte e sole le soluzioni sono date da
\[
x = \bar{x} + \frac{b}{d}t \land y = \bar{y} - \frac{a}{d}t
\]
al variare di \( t \in \mathbb{Z} \) dove \( \left ( \bar{x}, \bar{y} \right ) \) è una soluzione particolare dell'equazione iniziale.
Quindi per un'equazione diofantea in due incognite sappiamo sotto quali condizioni l'equazione è risolvibile e ne sappiamo descrivere tutte le soluzioni.
Sia ora data l'equazione diofantea \( ax + by + cz = d \): questa è risolvibile se e solo se \( \text{MCD}(a, b, c) \mid d \) e si può provare che tutte le soluzioni dell'equazione diofantea data sono descritte da
\[
\begin{align*}
x & = \bar{x_{1}} + \left ( \frac{\text{MCD}(b,c)}{\text{MCD}(a,b,c)} \right )t \\
y & = \bar{y_{1}}\bar{x_{2}} - \bar{y_{1}} \left ( \frac{a}{\text{MCD}(a,b,c)} \right ) t + \left ( \frac{c}{\text{MCD}(b,c)} \right ) s \\
z & = \bar{y_{2}}\bar{x_{2}} - \bar{y_{2}} \left ( \frac{a}{\text{MCD}(a,b,c)} \right ) t - \left ( \frac{b}{\text{MCD}(b,c)} \right ) s
\end{align*}
\]
al variare di \( t \) e \( s \) in \( \mathbb{Z} \), dove \( (\bar{x_{1}},\bar{x_{2}}) \) è una soluzione di \( ax_{1} + \text{MCD}(b,c)x_{2} = d \) e \( (\bar{y_{1}},\bar{y_{2}}) \) è una soluzione di \( by_{1} + cy_{2} = \text{MCD}(b,c) \).
In pratica per risolvere un'equazione diofantea a tre incognite ci si riconduce a due equazioni diofantee a due incognite.
Partiamo da questo: il procedimento che hai esposto per la risoluzione di un'equazione diofantea in due incognite si può generalizzare sicché possiamo dire che data l'equazione diofantea \( ax + by = c \), questa ammetta soluzioni se e solo se \( \text{MCD}(a,b) = d \mid c \) e tutte e sole le soluzioni sono date da
\[
x = \bar{x} + \frac{b}{d}t \land y = \bar{y} - \frac{a}{d}t
\]
al variare di \( t \in \mathbb{Z} \) dove \( \left ( \bar{x}, \bar{y} \right ) \) è una soluzione particolare dell'equazione iniziale.
Quindi per un'equazione diofantea in due incognite sappiamo sotto quali condizioni l'equazione è risolvibile e ne sappiamo descrivere tutte le soluzioni.
Sia ora data l'equazione diofantea \( ax + by + cz = d \): questa è risolvibile se e solo se \( \text{MCD}(a, b, c) \mid d \) e si può provare che tutte le soluzioni dell'equazione diofantea data sono descritte da
\[
\begin{align*}
x & = \bar{x_{1}} + \left ( \frac{\text{MCD}(b,c)}{\text{MCD}(a,b,c)} \right )t \\
y & = \bar{y_{1}}\bar{x_{2}} - \bar{y_{1}} \left ( \frac{a}{\text{MCD}(a,b,c)} \right ) t + \left ( \frac{c}{\text{MCD}(b,c)} \right ) s \\
z & = \bar{y_{2}}\bar{x_{2}} - \bar{y_{2}} \left ( \frac{a}{\text{MCD}(a,b,c)} \right ) t - \left ( \frac{b}{\text{MCD}(b,c)} \right ) s
\end{align*}
\]
al variare di \( t \) e \( s \) in \( \mathbb{Z} \), dove \( (\bar{x_{1}},\bar{x_{2}}) \) è una soluzione di \( ax_{1} + \text{MCD}(b,c)x_{2} = d \) e \( (\bar{y_{1}},\bar{y_{2}}) \) è una soluzione di \( by_{1} + cy_{2} = \text{MCD}(b,c) \).
In pratica per risolvere un'equazione diofantea a tre incognite ci si riconduce a due equazioni diofantee a due incognite.
Grazie G.D. ora provo a generalizzarla senza aiuti 
in ogni caso per le equazioni Diofantee con più variabili, si usano le dimostrazioni con le congruenze?
Al posto di aprire un altro topic, vado off sotto spoiler per una cosa breve:
in ogni caso per le equazioni Diofantee con più variabili, si usano le dimostrazioni con le congruenze?Al posto di aprire un altro topic, vado off sotto spoiler per una cosa breve:
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