Equazione di una parabola da un punto e il vertice Esercizio
Dunque mi sono ritrovato stamane con questo problema e non sono riuscito a risolverlo per problemi di calcolo,purtroppo trovata l'equazione della parabola dovevo trovare le tangenti e varie,ma visto che non sono riuscito a trovare l'equazione è stata una strage ^^
Comunque mi serve solo riuscire arrivare all'equazione,spero possiate aiutarmi.
- Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $. Vi ricordo che questa è l'equazione generica di una parabola : $ y=ax^2+bx+c $ e le coordinate generiche del V sono $ (-b/[2a] ; -Delta/[4a])
Ecco come avevo fatto io potete dirmi dove ho sbagliato? (fate finta sia un sistema a 3)
$ { 2= a+b+c { a=-b-c+2 $
$ { -7= 4a-2b+c { -7= 4(-b-c+2)-2b+c {0= -4b-4c+8+7-2b+c {6b= -3c +15 {[6b]/6= -[3c]/6 +15/6 {b=-1/2c + 5/2 {b=[c+5]/2 $
$ {-2= -b/[2a] {-2= [[-c-5]/2]/[2(-c-5-c+2)] {-2= [[-c-5]/2]/[-2c-10-2c+4] { -2=[[-c-5]/2]/[-4c-6] {-2(-4c-6) = [-c-5]/2 {-8c+12= [-c-5]/2 {2(-8c+12)=-c-5 {-16c+24+c=-5 {-15c =-29 {[15c]/15 =29/15 $
$ { a= -104/15-29/15+2 {a= [-104-29+30]/15 {a=-103/15 $
$ { b= [29/15+5]/2 {b= [29+75]/15 =104/15 $
$ { c= 29/15 $
quindi: $ y=-103/15x^2+104/15x+29/15 $
Mi sono reso conto da solo che non aveva senso continuare la verifica
Grazie per l'aiuto
Comunque mi serve solo riuscire arrivare all'equazione,spero possiate aiutarmi.
- Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $. Vi ricordo che questa è l'equazione generica di una parabola : $ y=ax^2+bx+c $ e le coordinate generiche del V sono $ (-b/[2a] ; -Delta/[4a])
Ecco come avevo fatto io potete dirmi dove ho sbagliato? (fate finta sia un sistema a 3)
$ { 2= a+b+c { a=-b-c+2 $
$ { -7= 4a-2b+c { -7= 4(-b-c+2)-2b+c {0= -4b-4c+8+7-2b+c {6b= -3c +15 {[6b]/6= -[3c]/6 +15/6 {b=-1/2c + 5/2 {b=[c+5]/2 $
$ {-2= -b/[2a] {-2= [[-c-5]/2]/[2(-c-5-c+2)] {-2= [[-c-5]/2]/[-2c-10-2c+4] { -2=[[-c-5]/2]/[-4c-6] {-2(-4c-6) = [-c-5]/2 {-8c+12= [-c-5]/2 {2(-8c+12)=-c-5 {-16c+24+c=-5 {-15c =-29 {[15c]/15 =29/15 $
$ { a= -104/15-29/15+2 {a= [-104-29+30]/15 {a=-103/15 $
$ { b= [29/15+5]/2 {b= [29+75]/15 =104/15 $
$ { c= 29/15 $
quindi: $ y=-103/15x^2+104/15x+29/15 $
Mi sono reso conto da solo che non aveva senso continuare la verifica
Grazie per l'aiuto
Risposte
L'impostazione era giusta... Non ho ben capito come pensavi di risolvere il sistema.
Io avrei esplicitato la b, veniva $b=4a$.
A quel punto la sostituivi nelle altre due equazioni.
A conti fatti, ottenevi $a=1$, $b=4$ e $c=-3$
La tua parabola era quindi $y=x^2+4x-3$
Io avrei esplicitato la b, veniva $b=4a$.
A quel punto la sostituivi nelle altre due equazioni.
A conti fatti, ottenevi $a=1$, $b=4$ e $c=-3$
La tua parabola era quindi $y=x^2+4x-3$
Grazie mille hai ragione !
io avevo esplicitato per prima la a, ma comunque non sarebbe dovuto venire lo stesso?
io avevo esplicitato per prima la a, ma comunque non sarebbe dovuto venire lo stesso?
Sì certo, ma esplicitando la a i calcoli erano più lunghi, quindi fare errori era molto più facile.
Ciao!:D
Ciao!:D
Grazie caro!
"lordb":
Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $.
Basta riferirsi alla formula
$y = a (x-x_V)^2 + y_V$
poiché $x_V = -2$ e $y_V = -7$ si ha
$y = a (x+2)^2 - 7$ ;
sostituendo ora $x=1$ e $y=2$ abbiamo
$2 = a * (1+2)^2 - 7$
$a = 1$
per cui l'equazione della parabola è
$y = (x+2)^2 - 7$
se vogliamo sviluppare otteniamo
$y = x^2 + 4 x - 3$ .
Grazie mille! Non la conoscevo questa formula !
Dove posso trovare una dimostrazione a questa e all'altra formula precostituita :
dato fuoco e vertice:
trovare valore di p = (parametro?) $P= Yf-Yv $
$ a=1/[4p] $
Grazie mille!
Dove posso trovare una dimostrazione a questa e all'altra formula precostituita :
dato fuoco e vertice:
trovare valore di p = (parametro?) $P= Yf-Yv $
$ a=1/[4p] $
Grazie mille!
Attento! non tutti gli insegnanti accettano formule precostituite (soprattutto se non sono stati loro a spiegarle!), perchè generalmente interessa il ragionamento che sta alla base dell'esercizio, e cioè vedere se lo studente è in grado di capire cosa significa ottenere una parabola dati un punto ed il suo vertice
Io ad esempio non la accetterei, mentre in genere pretendo che il sistema venga risolto nel modo migliore, cioè non col metodo
di sostituzione, bensì col metodo di somma o riduzione
quindi il metodo migliore per me è questo :
${\(-b/(2a)=-2),(2=a+b+c),(-7=4a-2b+c):}$
ricavo b dalla prima equazione e vado a sostituirla nelle altre due, poi applico il metodo :
${\(b=4a),(5a+c=2),(-4a+c=-7):}$
ora basta sottrarre membro a membro le ultime due equazioni ed ottieni :
$9a=9$ , cioè $a=1$
a questo punto ricavi immediatamente b e poi c
Io ad esempio non la accetterei, mentre in genere pretendo che il sistema venga risolto nel modo migliore, cioè non col metodo
di sostituzione, bensì col metodo di somma o riduzione
quindi il metodo migliore per me è questo :
${\(-b/(2a)=-2),(2=a+b+c),(-7=4a-2b+c):}$
ricavo b dalla prima equazione e vado a sostituirla nelle altre due, poi applico il metodo :
${\(b=4a),(5a+c=2),(-4a+c=-7):}$
ora basta sottrarre membro a membro le ultime due equazioni ed ottieni :
$9a=9$ , cioè $a=1$
a questo punto ricavi immediatamente b e poi c
ok ne farò presente grazie ^^
Guarda che la formula
$y = a (x - x_V)^2 + y_V$
rappresenta una generica parabola.
Infatti, una parabola di vertice $O$ ha equazione
$y = ax^2$ ;
con la traslazione che porta $O$ in $V$ otteniamo proprio
$y = a (x - x_V)^2 + y_V$ .
$y = a (x - x_V)^2 + y_V$
rappresenta una generica parabola.
Infatti, una parabola di vertice $O$ ha equazione
$y = ax^2$ ;
con la traslazione che porta $O$ in $V$ otteniamo proprio
$y = a (x - x_V)^2 + y_V$ .
Non ne dubito, ma generalmente non è questo il metodo richiesto per risolvere un esercizio del tipo presentato da lordb
(difatti lui l'aveva impostato nel modo "classico")
(difatti lui l'aveva impostato nel modo "classico")
Il fatto che lui l'abbia impostato in quel modo non significa niente, per me.
Da insegnante ti posso dire che la "vera" formula della parabola
è [tex]y = a(x - x_V)^2 + y_V[/tex];
se vogliamo fare un parallelo con la circonferenza tu preferisci
l'equazione [tex]x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0[/tex]
oppure l'equazione [tex](x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2[/tex] ?
Io dico che la "vera" formula è la seconda..
Da insegnante ti posso dire che la "vera" formula della parabola
è [tex]y = a(x - x_V)^2 + y_V[/tex];
se vogliamo fare un parallelo con la circonferenza tu preferisci
l'equazione [tex]x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0[/tex]
oppure l'equazione [tex](x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2[/tex] ?
Io dico che la "vera" formula è la seconda..
Poiché anch'io insegno da un po' più di vent'anni , posso assicurarti che ho sempre usato l'altro metodo, che è del resto quello che si trova in tutti i libri di testo e che i ragazzi comprendono meglio
in quanto all'equazione della circonferenza, dipende dal tipo di esercizio che si ha di fronte : in certi casi è più opportuno usare l'una, in altri l'altra
in quanto all'equazione della circonferenza, dipende dal tipo di esercizio che si ha di fronte : in certi casi è più opportuno usare l'una, in altri l'altra
"Nicole93":
posso assicurarti che ho sempre usato l'altro metodo, che è del resto quello che si trova in tutti i libri di testo e che i ragazzi comprendono meglio in quanto all'equazione della circonferenza, dipende dal tipo di esercizio che si ha di fronte : in certi casi è più opportuno usare l'una, in altri l'altra
Fammi capire meglio:
quindi anche se hai il vertice della parabola nell'origine non scrivi [tex]y=ax^2[/tex] ?
ovviamente sì, ma non vedo cosa c'entra, in quanto i problemi del tipo di quello presentato in questo caso riguardano una parabola traslata, e non quella con il vertice nell'origine, che è un caso particolare molto semplice e viene trattato per primo
forse tu usi una metodologia diversa per trattare la parabola, in quanto ovviamente dipende tutto dall'impostazione
comunque ti assicuro che la maggioranza di noi insegna a risolvere questi problemi nel modo che ho spiegato io
forse tu usi una metodologia diversa per trattare la parabola, in quanto ovviamente dipende tutto dall'impostazione
comunque ti assicuro che la maggioranza di noi insegna a risolvere questi problemi nel modo che ho spiegato io
Non mi è chiara la faccenda.
Facciamo un esempio.
Determinare l'equazione della parabola avente vertice in [tex]V(3,2)[/tex]
e tangente alla retta [tex]y=x+3[/tex].
Io svolgo così:
[tex]y = a (x-3)^2 + 2[/tex]
interseco con la retta
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
y = a (x-3)^2 + 2 \\
y = x+3
\end{array} \right. \;\; \Rightarrow \;\;
\left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = a (x - 3)^2 + 2 \\
y = x+3
\end{array} \right. \;\; \Rightarrow \;\;
\left\{ \begin{array}{l}
a x^2 + (-6 a - 1) x + 9 a - 1 = 0 \\
y = x+3
\end{array} \right.[/tex]
impongo che ci siano due soluzioni coincidenti ed ottengo [tex]a = -\dfrac{1}{16}[/tex]
da cui
[tex]y = -\dfrac{1}{16} (x - 3)^2 + 2[/tex] .
Penso che sia un metodo molto efficace, non trovi?
Facciamo un esempio.
Determinare l'equazione della parabola avente vertice in [tex]V(3,2)[/tex]
e tangente alla retta [tex]y=x+3[/tex].
Io svolgo così:
[tex]y = a (x-3)^2 + 2[/tex]
interseco con la retta
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
y = a (x-3)^2 + 2 \\
y = x+3
\end{array} \right. \;\; \Rightarrow \;\;
\left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = a (x - 3)^2 + 2 \\
y = x+3
\end{array} \right. \;\; \Rightarrow \;\;
\left\{ \begin{array}{l}
a x^2 + (-6 a - 1) x + 9 a - 1 = 0 \\
y = x+3
\end{array} \right.[/tex]
impongo che ci siano due soluzioni coincidenti ed ottengo [tex]a = -\dfrac{1}{16}[/tex]
da cui
[tex]y = -\dfrac{1}{16} (x - 3)^2 + 2[/tex] .
Penso che sia un metodo molto efficace, non trovi?
temo che ti sia sfuggito il senso del mio intervento
io non discuto sui vari metodi per risolvere uno stesso problema (e ti assicuro che il concetto di efficacia è relativo) che possono essere tutti ugualmente apprezzabili e validi, purchè però chi li utilizza li spieghi chiaramente
io volevo solo mettere in guardia lo studente dall'utilizzare metodi che non sono stati spiegati dal proprio insegnante, perchè, a meno che non si siano capiti perfettamente e non si sia in grado di spiegarli, questo è molto pericoloso, in quanto potrebbe portare ad una valutazione negativa (lo studente utilizza metodi imparati a memoria ma non compresi; si fida più di estranei che del proprio insegnante , ...)
spero adesso di essere stata chiara, in quanto non volevo mettere in discussione il tuo metodo risolutivo (in fondo, ogni insegnante utilizza i metodi che ritiene più idonei, in rapporto sia al libro di testo che alle proprie inclinazione e, soprattutto, tenendo sempre in considerazione quali obiettivi intende raggiungere) ma solo l'opportunità o meno di dare consigli che esulavano dal problema posto dallo studente (il fatto cioè che utilizzando il metodo insegnatogli dal proprio insegnante i conti non tornassero)
io non discuto sui vari metodi per risolvere uno stesso problema (e ti assicuro che il concetto di efficacia è relativo) che possono essere tutti ugualmente apprezzabili e validi, purchè però chi li utilizza li spieghi chiaramente
io volevo solo mettere in guardia lo studente dall'utilizzare metodi che non sono stati spiegati dal proprio insegnante, perchè, a meno che non si siano capiti perfettamente e non si sia in grado di spiegarli, questo è molto pericoloso, in quanto potrebbe portare ad una valutazione negativa (lo studente utilizza metodi imparati a memoria ma non compresi; si fida più di estranei che del proprio insegnante , ...)
spero adesso di essere stata chiara, in quanto non volevo mettere in discussione il tuo metodo risolutivo (in fondo, ogni insegnante utilizza i metodi che ritiene più idonei, in rapporto sia al libro di testo che alle proprie inclinazione e, soprattutto, tenendo sempre in considerazione quali obiettivi intende raggiungere) ma solo l'opportunità o meno di dare consigli che esulavano dal problema posto dallo studente (il fatto cioè che utilizzando il metodo insegnatogli dal proprio insegnante i conti non tornassero)
Ok, ora ho capito cosa volevi dire.
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