Equazione di una circonferenza passante per 2 punti e tangente alla retta
Salve, volevo chiedervi se conoscete un metodo veloce e sicuro per risolvere un problema che necessità di diversi calcoli e passaggi, e quindi con una buona probabilità di non essere svolto correttamente (almeno in proporzione alle mie capacità :beatin ) . Il tema è trovare un'equazione di una circonferenza passante per 2 punti e tangente alla retta.
Es.:
P(5;1)
Q(0;2)
2x-3y+6=0
Il metodo che uso io è quello di creare un sistema con 5a+b+c=0 e 2b+c=0, il cui risultato lo sostituisco all'equazione tipo della circonferenza (x^2+y^2+ax+by+c=0), che a sua volta metto a sistema con l'equazione 2x-3y+6=0, porto il delta = 0, trovo i valori di a che nel primo sistema non potevo determinare, e mi trovo le due equazioni.
Ecco, volevo chiedervi se sapete risolverlo in modo più semplice.
Aggiunto 2 ore 4 minuti più tardi:
Il 2 accanto al valore assoluto significa elevato ad?
Aggiunto 18 ore 5 minuti più tardi:
Volevo chiederti un'ultima cosa, estranea a questo esercizio ma di cui non vale la pena aprire una discussione (scusami se ti assillo, ma domani ho un test, e desidero prepararmi adeguatamente); un esercizio dice: nel fascio individuato dalle circonferenze di equazione x^2+y^2-4x+2y=0 e x^2+y^2+2x-3=0, determina a) l'equazione dell'asse radicale, b) l'equazione della retta dei centri, c) l'equazione della circonferenza passante per il punto P(-1;O). Ecco, ho fatto i punti a) e b), ma non capisco come fare c). Sarà una stupidaggine, ma non ci arrivo :sigh
Es.:
P(5;1)
Q(0;2)
2x-3y+6=0
Il metodo che uso io è quello di creare un sistema con 5a+b+c=0 e 2b+c=0, il cui risultato lo sostituisco all'equazione tipo della circonferenza (x^2+y^2+ax+by+c=0), che a sua volta metto a sistema con l'equazione 2x-3y+6=0, porto il delta = 0, trovo i valori di a che nel primo sistema non potevo determinare, e mi trovo le due equazioni.
Ecco, volevo chiedervi se sapete risolverlo in modo più semplice.
Aggiunto 2 ore 4 minuti più tardi:
Il 2 accanto al valore assoluto significa elevato ad?
Aggiunto 18 ore 5 minuti più tardi:
Volevo chiederti un'ultima cosa, estranea a questo esercizio ma di cui non vale la pena aprire una discussione (scusami se ti assillo, ma domani ho un test, e desidero prepararmi adeguatamente); un esercizio dice: nel fascio individuato dalle circonferenze di equazione x^2+y^2-4x+2y=0 e x^2+y^2+2x-3=0, determina a) l'equazione dell'asse radicale, b) l'equazione della retta dei centri, c) l'equazione della circonferenza passante per il punto P(-1;O). Ecco, ho fatto i punti a) e b), ma non capisco come fare c). Sarà una stupidaggine, ma non ci arrivo :sigh
Risposte
Il metodo e' corretto, ma si', c'è un metodo piu' semplice
Una volta che hai trovato la circonferenza in un unico parametro, poni che la distanza centro-retta sia uguale al raggio.
Nel tuo esempio, trovato che c=-2b (dalla seconda) e che quindi 5a+b-2b=0 da cui b=5a e quindi c=-10a hai la circonferenza:
La retta e' 2x-3y+6=0, il centro (-a/2, +3a/2) e il raggio
La distanza della retta dal centro sara'
Che eguaglierai al raggio
Elevi al quadrato e trovi le due equazioni
Ovviamente ho tralasciato i conti e sembra tutto molto complesso, in verita' l'equazione e' tutta in a e quindi molto piu' semplice di come appaia
Aggiunto 15 ore 43 minuti più tardi:
Per eliminare la radice quadrata, ho elevato al quadrato ambo i membri (purtroppo non riesco a fare una parentesi decente a destra, comunque tutta la frazione e' elevata al quadrato)
La presenza del +/- invece e' causa della presenza del valore assoluto
Aggiunto 5 ore 30 minuti più tardi:
Se hai trovato l'equazione del fascio, ti bastera' sostituire al fascio (che presentera' le variabili x e y e un parametro) i valori del punto.
Questa sostituzione (condizione di appartenenza del punto) ti portera' un'equazione avente come unica incognita il parametro stesso.
Risolvi trovando il valore del parametro che soddisfa l'equazione.
Una volta trovato il valore del parametro, lo sostituisci al fascio ricavando l'equazione della circonferenza cercata.
Una volta che hai trovato la circonferenza in un unico parametro, poni che la distanza centro-retta sia uguale al raggio.
Nel tuo esempio, trovato che c=-2b (dalla seconda) e che quindi 5a+b-2b=0 da cui b=5a e quindi c=-10a hai la circonferenza:
[math] x^2+y^2+ax+5ay-10a=0 [/math]
La retta e' 2x-3y+6=0, il centro (-a/2, +3a/2) e il raggio
[math] r= \sqrt{\frac{a^2}{4}+ \frac{9a^2}{4}+10a} [/math]
La distanza della retta dal centro sara'
[math] \frac{|2\(- \frac{a}{2}\)-3\(\frac32a)-10a|}{\sqrt{2^2+3^2}} [/math]
Che eguaglierai al raggio
Elevi al quadrato e trovi le due equazioni
[math] \( { \frac{2\(- \frac{a}{2}\)-3\(\frac32a)-10a}{\sqrt{2^2+3^2}} }\)^2 = \pm \( \frac{a^2}{4}+ \frac{9a^2}{4}+10a \) [/math]
Ovviamente ho tralasciato i conti e sembra tutto molto complesso, in verita' l'equazione e' tutta in a e quindi molto piu' semplice di come appaia
Aggiunto 15 ore 43 minuti più tardi:
Per eliminare la radice quadrata, ho elevato al quadrato ambo i membri (purtroppo non riesco a fare una parentesi decente a destra, comunque tutta la frazione e' elevata al quadrato)
La presenza del +/- invece e' causa della presenza del valore assoluto
Aggiunto 5 ore 30 minuti più tardi:
Se hai trovato l'equazione del fascio, ti bastera' sostituire al fascio (che presentera' le variabili x e y e un parametro) i valori del punto.
Questa sostituzione (condizione di appartenenza del punto) ti portera' un'equazione avente come unica incognita il parametro stesso.
Risolvi trovando il valore del parametro che soddisfa l'equazione.
Una volta trovato il valore del parametro, lo sostituisci al fascio ricavando l'equazione della circonferenza cercata.
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