Equazione di una circonfenza
Ciao a tutti :)
Vorrei mi aiutaste con un piccolo ripasso: abbiamo iniziato da poco la circonfernza ma l abbiamo gia (quasi) finita..vorrei che mi spiegaste come si trova l equazione di una circonferenza avendo
1)3 PUNTI NON ALLINEATI
2)PUNTO E CENTRO
3)CENTRO E RAGGIO
4)DUE PUNTI E RAGGIO
5) DUE PUNTI E UNA RETTA PASSANTE PER IL CENTRO
6)ESTREMI DEL DIAMETRO
i primi sono piuttosto facili (ma preferirei comunque che mi dite qualcosa) ma gli ultimi tre non ho capito..il prof ce li ha spiegati con il metodo del sistema [(non sono certo che anche l ultimo ce lo abbia spiegato così)] (perche so che si puo fare anche trovando gli assi)..potreste rispiegarmelo? con un esempio..prendete punti banali e una retta facile..giusto per farmi capire..grazie mille
Vorrei mi aiutaste con un piccolo ripasso: abbiamo iniziato da poco la circonfernza ma l abbiamo gia (quasi) finita..vorrei che mi spiegaste come si trova l equazione di una circonferenza avendo
1)3 PUNTI NON ALLINEATI
2)PUNTO E CENTRO
3)CENTRO E RAGGIO
4)DUE PUNTI E RAGGIO
5) DUE PUNTI E UNA RETTA PASSANTE PER IL CENTRO
6)ESTREMI DEL DIAMETRO
i primi sono piuttosto facili (ma preferirei comunque che mi dite qualcosa) ma gli ultimi tre non ho capito..il prof ce li ha spiegati con il metodo del sistema [(non sono certo che anche l ultimo ce lo abbia spiegato così)] (perche so che si puo fare anche trovando gli assi)..potreste rispiegarmelo? con un esempio..prendete punti banali e una retta facile..giusto per farmi capire..grazie mille
Risposte
ciao ... vedi se questo può aiutarti...
-esempio:Come si trova l'equazione di una circonferenza conoscendone solo il centro e una tangente
Data l'equazione della circonferenza:
x² + y² + ax + by + c = 0
hai che le coordinate del centro sono:
C(α, ß)
dove
α = -a/2
ß = -b/2
dunque i parametri a e b sono ben che trovati.
Il raggio lo trovi applicando la formula per il calcolo della distanza tra il centro C e la retta r:
D = |a*α + b*ß + c| / √(a² + b²) ===> | ... | = valore assoluto
dove a, b e c sono, ovviamente, i parametri della retta.
E infine calcoli c utilizzando la formula per il calcolo del raggio:
r = √(α² + ß² - c)
Avendo che D = r l'unica incognita da trovare rimane c:
r = √(α² + ß² - c)
r² = α² + ß² - c
c = α² + ß² - r²
ciao
-esempio:Come si trova l'equazione di una circonferenza conoscendone solo il centro e una tangente
Data l'equazione della circonferenza:
x² + y² + ax + by + c = 0
hai che le coordinate del centro sono:
C(α, ß)
dove
α = -a/2
ß = -b/2
dunque i parametri a e b sono ben che trovati.
Il raggio lo trovi applicando la formula per il calcolo della distanza tra il centro C e la retta r:
D = |a*α + b*ß + c| / √(a² + b²) ===> | ... | = valore assoluto
dove a, b e c sono, ovviamente, i parametri della retta.
E infine calcoli c utilizzando la formula per il calcolo del raggio:
r = √(α² + ß² - c)
Avendo che D = r l'unica incognita da trovare rimane c:
r = √(α² + ß² - c)
r² = α² + ß² - c
c = α² + ß² - r²
ciao
Cichinella, allora dimmelo: vuoi proprio che ti banni? Non puoi mettere quei link, e non puoi neanche fare copia e incolla di cose che trovi su internet! Se vuoi postare qui, devi scrivere di tuo! Altrimenti, non venire più a fare cavolate nella sezione di matematica! Grazie!
Cichinella non proprio..cmq..ciampax scusa se mi permetto credo che voleva solo aiutarm,anche se per una tua reazione cosi credo che non sia nemmeno la prima volta..pero vabbè dai chiudi un altro occhio :) :hi
daddo ci sono delle regole: lei non le rispetta e non è la prima volta!
Per quando ti servono queste cose? Se mi dai tempo, domani mattina ti scrivo uno schema preciso.
Per quando ti servono queste cose? Se mi dai tempo, domani mattina ti scrivo uno schema preciso.
Mi servirebbero per domani mattina,ma se magari me lo fai domani mattina come hai detto,va comunque bene :) li avrò comunque per la prossima volta :) :)
..comunque avevo immaginato che non fosse la prima volta.. :(
..comunque avevo immaginato che non fosse la prima volta.. :(
Sai che l'equazione generica di una circonferenza è della forma
1) Avendo 3 punti non allineati appare abbastanza semplice la situazione. Basta sostituire le coordinate
2) Avendo le coordinate
3) Se hai centro e raggio devi ricordarti un altro modo di esprimere l'equazione generica di una circonferenza. Infatti se
4) Conoscendo 2 punti della circonferenza e il raggio il tutto diventa molto semplice se ricordi la relazione
5) Se hai 2 punti e l'equazione di una retta passante per il centro, oltre alle 2 condizioni imposti dal passaggio della circonferenza per i due punti noti potresti provare ad intersecare la retta con la circonferenza, risolvere l'equazione di secondo grado associata al sistema e trovare in funzione di alfa, beta e gamma i punti di incontro tra retta e circonferenza. Fatto ciò trovi la distanza da questi due punti, dividi per 2 e la eguagli a
6)Avere gli estremi del diametro è equivalente a conoscere 2 punti della circonferenza e dividendo per 2 la distanza tra questi due punti ottieni la misura del raggio. Ora puoi procedere come al punto 4).
[math]x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0[/math]
. Dunque per determinarla completamente abbiamo bisogno di tre informazioni non coimplicabili (ovvero ciascuna di esse non deve dipendere dalle altre) che ci dicano quali siano i valori da attribuire ai tre parametri (alfa, beta e gamma).1) Avendo 3 punti non allineati appare abbastanza semplice la situazione. Basta sostituire le coordinate
[math](x_p \ , \ y_p)[/math]
di ciascun punto al posto delle variabili [math](x \ , \ y)[/math]
dell'equazione generica. Da qui ottieni 3 equazioni che messe insieme in un sistema ti determinano univocamente l'equazione cercata.2) Avendo le coordinate
[math](x_c \ , \ y_c)[/math]
del centro hai 2 informazioni importanti se ricordi li relazioni [math]x_c=-\frac{\alpha}2[/math]
ed [math]y_c=-\frac{\beta}2[/math]
. Per ricavare il terzo parametro (gamma) sfrutti la 3 condizione che l'esercizio ti mette a disposizione, ovvero l'appartenenza di un punto noto alla circonferenza. Sostituendo le coordinate di questo punto all'equazione generica ed inserendo i valori dei due parametri trovati poc'anzi ottieni tutto ciò che ti serve per determinare l'ultimo parametro e dunque l'equazione completa della circonferenza.3) Se hai centro e raggio devi ricordarti un altro modo di esprimere l'equazione generica di una circonferenza. Infatti se
[math](x_c \ , \ y_c)[/math]
sono le cordinate del centro ed [math]r[/math]
è la misura del raggio hai che l'equazione generica è data da [math](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/math]
. Questa espressione traduce inoltre le proprietà caratteristiche della circonferenza come luogo geometrico.4) Conoscendo 2 punti della circonferenza e il raggio il tutto diventa molto semplice se ricordi la relazione
[math]r=sqrt{\frac{\alpha^2}4 +\frac{\beta^2}4-\gamma}[/math]
. Questa condizione messa a sistema con quelle fornite dall'appartenenza dei 2 punti noti alla circonferenza ti dà le 3 condizioni necessarie.5) Se hai 2 punti e l'equazione di una retta passante per il centro, oltre alle 2 condizioni imposti dal passaggio della circonferenza per i due punti noti potresti provare ad intersecare la retta con la circonferenza, risolvere l'equazione di secondo grado associata al sistema e trovare in funzione di alfa, beta e gamma i punti di incontro tra retta e circonferenza. Fatto ciò trovi la distanza da questi due punti, dividi per 2 e la eguagli a
[math]sqrt{\frac{\alpha^2}4 +\frac{\beta^2}4-\gamma}[/math]
(raggio). Non so cosa ne esce fuori sinceramente ma a quest'ora non mi viene in mente null'altro.6)Avere gli estremi del diametro è equivalente a conoscere 2 punti della circonferenza e dividendo per 2 la distanza tra questi due punti ottieni la misura del raggio. Ora puoi procedere come al punto 4).
tutto kiaro..apparte il punto 5)..vi dispiace farmi un esempio? non è un esercizio da svolgere è..c'è non vi sto dando i compiti è un esercizio che abbiamo fatto alla lavagna e ho copiato solo il testo per cercare di seguire ma non ho capito..
A(0;0)
B(0;4)
r x-y=0
ad un certo punto ho copiato una parte di sistema per ricordarmi che appunto si doveva fare il sistema..
ed è : c=0 , 4b+c=-16 , -a/b+b/2=0 (che penso sia l'equazione del centro..)
Grazie Comunque è :)
A(0;0)
B(0;4)
r x-y=0
ad un certo punto ho copiato una parte di sistema per ricordarmi che appunto si doveva fare il sistema..
ed è : c=0 , 4b+c=-16 , -a/b+b/2=0 (che penso sia l'equazione del centro..)
Grazie Comunque è :)
Sostituendo le coordinate di A hai:
Sostituendo le coordinate di B
Quell'equazione in
In questo caso hai infatti che il centro sta sulla bisettrice del I e del III quadrante e dunque le sue cordinate (x,y) sono uguali. Da cui ricavi che
[math]\gamma=0[/math]
.Sostituendo le coordinate di B
[math]16+4\beta+\gamma=0[/math]
e conoscendo dal punto precedente il valore di gamma sostituisci ed ottieni [math]\beta=-4[/math]
.Quell'equazione in
[math](x,y)[/math]
che hai postato non riesco a capire se è [math]r:x-y=0[/math]
oppure [math]rx-y=0[/math]
dove [math]r[/math]
indica la misura del raggio. (anche se penso di più che sia la prima ipotesi).In questo caso hai infatti che il centro sta sulla bisettrice del I e del III quadrante e dunque le sue cordinate (x,y) sono uguali. Da cui ricavi che
[math]\frac{\alpha}2=\frac{\beta}2 \Rightarrow \alpha=\beta[/math]
e l'equazione della circonferenza cercata è:[math]x^2+y^2-4x-4y=0[/math]
"r" sta per retta..comunque io non ho capito come si arriva a quel punto..c'è per trovare a,b e c come devo procedere? ignora il punto del sistema che ho scritto :lol scrivimi please solo il punto d'inizio e dimmi perchè però :satisfied Graziee :)
Cosa non capisci del mio procedimento? Ricorda che i tuoi a, b, c sono i miei alfa, beta e gamma. Per il resto mi sembra chiaro come sviluppo. Magari non faccio il sistema ma in un certo senso è come se lo facessi. Immagina le tre equazioni ottenute:
1) Sostituendo le coordinate di A
2) Sostituendo le coordinate di B
3) Imponendo che a/2 = b/2 (in quanto le coordinate del centro stanno sulla retta r)
E tratti tutto come un sistema.
Ti trovi.
1) Sostituendo le coordinate di A
2) Sostituendo le coordinate di B
3) Imponendo che a/2 = b/2 (in quanto le coordinate del centro stanno sulla retta r)
E tratti tutto come un sistema.
Ti trovi.
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