Equazione di secondo grado con parametro k e cartesio
Salve a tutti. Vorrei un chiarimento su questo sistema misto da risolvere con cartesio:
$2x^2 + 2x +2 - k = 0$
$x > 0$
( Non so se ho scritto bene, è la prima volta)
Comunque so di dover fare il delta e lo studio di a, b, c e mi escono k>3 e k<2 però non so fare la discussione e nel libro il risultato è:
1 sol. per k appartente ]2;+infinito[ ( non so come vanno lette le parentesi)
Spero di essere stato chiaro! Un grazie in anticipo a chiunque mi risponda, aspetto i vostri chiarimenti!
$2x^2 + 2x +2 - k = 0$
$x > 0$
( Non so se ho scritto bene, è la prima volta)
Comunque so di dover fare il delta e lo studio di a, b, c e mi escono k>3 e k<2 però non so fare la discussione e nel libro il risultato è:
1 sol. per k appartente ]2;+infinito[ ( non so come vanno lette le parentesi)
Spero di essere stato chiaro! Un grazie in anticipo a chiunque mi risponda, aspetto i vostri chiarimenti!
Risposte
benvenuto nel forum.
$Delta>=0$ per $k>=3/2$
$a>0$
$b>0$
c'è comunque una "permanenza"
se $k<2$ ci sono due permanenze, per cui per $k in [3/2,2)$ ci sono due soluzioni reali negative
se $k=2$ una soluzione negativa e una nulla
se $k>2$ due soluzioni reali, di cui una positiva e una negativa.
dunque, con la condizione $x>0$, una soluzione reale positiva solo per $k>2$, cioè $k in (2,+oo)$
le parentesi quadre al contrario valgono come le tonde per dire che l'elemento iniziale o finale scritto vicino alla parentesi va escluso, cioè c'è una disuguaglianza in senso stretto.
spero di essere stata chiara. ciao.
$Delta>=0$ per $k>=3/2$
$a>0$
$b>0$
c'è comunque una "permanenza"
se $k<2$ ci sono due permanenze, per cui per $k in [3/2,2)$ ci sono due soluzioni reali negative
se $k=2$ una soluzione negativa e una nulla
se $k>2$ due soluzioni reali, di cui una positiva e una negativa.
dunque, con la condizione $x>0$, una soluzione reale positiva solo per $k>2$, cioè $k in (2,+oo)$
le parentesi quadre al contrario valgono come le tonde per dire che l'elemento iniziale o finale scritto vicino alla parentesi va escluso, cioè c'è una disuguaglianza in senso stretto.
spero di essere stata chiara. ciao.
il $k>3/2$ dove lo hai preso? e poi il $k>3$ che trovo col delta non serve a niente? e un'ultima cosa..in questo caso a e b non hanno il parametro k quindi non li posso studiare giusto.?
$3/2$ veniva dal mio calcolo di $Delta/4$. posta il tuo calcolo di $Delta$: da dove viene il $3$ ?
scusami errore mio! 
comunque se non ti crea troppo disturbo, potresti rispiegarmi la discussione in un modo più semplice? ( Se c'è )
comunque se non ti crea troppo disturbo, potresti rispiegarmi la discussione in un modo più semplice? ( Se c'è )
conosci la regola di Cartesio?
se sì, chiediti chi sono, qui, $a,b,c$, quali sono costanti e quali dipendono dal parametro $k$.
cerchiamo di partire da quello che sai. facci sapere.
se sì, chiediti chi sono, qui, $a,b,c$, quali sono costanti e quali dipendono dal parametro $k$.
cerchiamo di partire da quello che sai. facci sapere.
credo che quelli costanti siano $a e b$....comunque so poco e niente, tutto quello che so è sul primo post. Forse non si può fare ma non potresti farmi la discussione e spiegarla in parole povere..?
quando in un'equazione di secondo grado ci sono due soluzioni reali (questo lo sai che succede per $Delta>=0$), il segno delle due soluzioni lo si può trovare semplicemente dai segni di $a,b,c$ (ma tu sai che per risolvere l'equazione puoi anche cambiare segno a tutto, quindi l'informazione riguarda non i singoli segni, ma come sono tra loro, cioè uguali o opposti). se scrivi la tua equazione in forma normale, cioè un trinomio, ordinato secondo le potenze decrescenti dell'incognita, uguagliato a zero, allora si confrontano i segni dei coefficienti successivi e, se sono uguali si dice che c'è una permanenza, se sono diversi si dice che c'è una variazione.
la regola di Cartesio dice che ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva.
nel caso di equazioni "incomplete", si hanno delle situazioni particolari che però si vedono subito perché non è necessario applicare la formula risolutiva, nel caso di equazioni complete la regola di Cartesio funziona così:
$|(a,b,c,"risultato"),(-,-,-,-),(+,+,+,"due soluzioni negative"),(-,-,-,"due soluzioni negative"),(+,-,+,"due soluzioni positive"),(-,+,-,"due soluzioni positive"),(+,+,-,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa"),(-,-,+,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa"),(+,-,-,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa"),(-,+,+,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa")|$
la regola dice anche che, in caso di una soluzione positiva e una negativa, è maggiore in modulo quella positiva se la variazione precede la permanenza (cioè se $b,c$ hanno lo stesso segno mentre $a$ ha segno opposto, mentre è maggiore in modulo la soluzione negativa se la permanenza precede la variazione (cioè se $a,b$ hanno lo stesso segno, mentre $c$ ha segno opposto.
nel tuo caso, $a=2>0,b=2>0$ quindi c'è prima una permanenza, dunque una soluzione negativa. dunque è impossibile che ci siano due soluzioni positive. perché ci sia una soluzione positiva, deve essere $c=2-k<0$, cioè $k>2$, compatibilmente con $Delta>=0 -> k>=3/2$
$k>2$ comporta automaticamente anche $Delta>0$ ed è quindi la soluzione richiesta (perché ci sia una radice positiva).
spero di essere stata chiara. prova e facci sapere. ciao.
la regola di Cartesio dice che ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva.
nel caso di equazioni "incomplete", si hanno delle situazioni particolari che però si vedono subito perché non è necessario applicare la formula risolutiva, nel caso di equazioni complete la regola di Cartesio funziona così:
$|(a,b,c,"risultato"),(-,-,-,-),(+,+,+,"due soluzioni negative"),(-,-,-,"due soluzioni negative"),(+,-,+,"due soluzioni positive"),(-,+,-,"due soluzioni positive"),(+,+,-,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa"),(-,-,+,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa"),(+,-,-,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa"),(-,+,+,"una soluzione positiva ed una soluzione negativa")|$
la regola dice anche che, in caso di una soluzione positiva e una negativa, è maggiore in modulo quella positiva se la variazione precede la permanenza (cioè se $b,c$ hanno lo stesso segno mentre $a$ ha segno opposto, mentre è maggiore in modulo la soluzione negativa se la permanenza precede la variazione (cioè se $a,b$ hanno lo stesso segno, mentre $c$ ha segno opposto.
nel tuo caso, $a=2>0,b=2>0$ quindi c'è prima una permanenza, dunque una soluzione negativa. dunque è impossibile che ci siano due soluzioni positive. perché ci sia una soluzione positiva, deve essere $c=2-k<0$, cioè $k>2$, compatibilmente con $Delta>=0 -> k>=3/2$
$k>2$ comporta automaticamente anche $Delta>0$ ed è quindi la soluzione richiesta (perché ci sia una radice positiva).
spero di essere stata chiara. prova e facci sapere. ciao.
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