Equazione di secondo grado
Data l'equazione:
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 + (x^2 - 4)/(x - 2)$
$C.A.: x !=-2 ^^x!=2$
posso dire che essa è equivalente a $(x-1)=4(x+2)$?
La prima equazione ha soluzione:$x=-3$
Procediamo con la risoluzione della seconda:
dopo alcuni calcoli arrivo a:
$(x - 1)(x + 3) = 4(x + 2)(x + 3)$
Applicando il secondo principio di equivalenza divido per $x+3$ termine che si annulla per $x-3$ ed ottengo:
$(x-1)=4(x+2)->x=-3$
Secondo me non sono equivalenti.
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 + (x^2 - 4)/(x - 2)$
$C.A.: x !=-2 ^^x!=2$
posso dire che essa è equivalente a $(x-1)=4(x+2)$?
La prima equazione ha soluzione:$x=-3$
Procediamo con la risoluzione della seconda:
dopo alcuni calcoli arrivo a:
$(x - 1)(x + 3) = 4(x + 2)(x + 3)$
Applicando il secondo principio di equivalenza divido per $x+3$ termine che si annulla per $x-3$ ed ottengo:
$(x-1)=4(x+2)->x=-3$
Secondo me non sono equivalenti.
Risposte
nell'equazione data, dopo aver ridotto al minimo comun denominatore ed aver fatto i calcoli. io ottengo :
$x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$
scompongo con Ruffini ed ho : $(x+3)^2 (x-2)=0$
applico la legge di annullamento del prodotto ed ottengo le soluzioni : $x=-3 ; x=2$
le due equazioni non sono equivalenti perchè non hanno le stesse soluzioni, ma tu lo hai dedotto commettendo un grave errore:
non puoi dividere per $x+3$, in quanto così facendo elimini la soluzione x =- 3,che per la prima equazione va contata due volte
$x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$
scompongo con Ruffini ed ho : $(x+3)^2 (x-2)=0$
applico la legge di annullamento del prodotto ed ottengo le soluzioni : $x=-3 ; x=2$
le due equazioni non sono equivalenti perchè non hanno le stesse soluzioni, ma tu lo hai dedotto commettendo un grave errore:
non puoi dividere per $x+3$, in quanto così facendo elimini la soluzione x =- 3,che per la prima equazione va contata due volte
controlla bene...ci deve essere un errore!
ho rifatto i calcoli, ma ottengo sempre la stessa equazione
ti dico il procedimento: minimo comun denominatore: $4(x^2-4)$
allora al numeratore ottengo :
$-3(x-2)+x(x^2-4)=4(x^2-4)+4(x^2-4)(x+2)$
poi facendo i calcoli ottengo l'equazione che ti ho scritto
ti dico il procedimento: minimo comun denominatore: $4(x^2-4)$
allora al numeratore ottengo :
$-3(x-2)+x(x^2-4)=4(x^2-4)+4(x^2-4)(x+2)$
poi facendo i calcoli ottengo l'equazione che ti ho scritto
Intanto grazie per la collaborazione....ma il mio ragionamento è diverso! Cerco di spiegarmi meglio.
partiamo da questa equazione, già presa in esame:
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 + (x^2 - 4)/(x - 2)$
da questa equazione mi è chiesto come operare per arrivare a: $x-1=4(x+2)$ e io dopo alcuni passaggi ci posso arrivare
da: $-3 + x(x + 2) = (4x + 8) + (4x + 8)(x + 2)->(x - 1)(x + 3) = 4(x + 2)(x + 3)$
o come dici giustamente tu da : $ (x - 1)(x - 2)(x + 3) = 4(x + 2)(x - 2)(x + 3)$
adesso applico il secondo principio di equivalenza e dividendo nel mio primo caso per $x+3$ che si annulla per $x=-3$ ottengo
$(x-1)=4(x+2)$ con soluzione $x=-3$ che non posso accettare, mentre nell'equazione di partenza è accettabile..per cui deduco che le due
equazioni non sono equivalenti.
Dal tuo caso ci arrivo dividendo per $(x-2)(x+3)$ che si annulla per $x=2$ $vv$ per $x=-3$ ma anche così arrivo a dedurre che per $x=2$ entrambe le equazioni perdono significato e qui ci siamo, ma per $x=-3$ la prima equazione di partenza trova la sua soluzione mentre quella di arrivo perde significato.
per cui ancora una volta deduco che non sono equivalenti.
partiamo da questa equazione, già presa in esame:
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 + (x^2 - 4)/(x - 2)$
da questa equazione mi è chiesto come operare per arrivare a: $x-1=4(x+2)$ e io dopo alcuni passaggi ci posso arrivare
da: $-3 + x(x + 2) = (4x + 8) + (4x + 8)(x + 2)->(x - 1)(x + 3) = 4(x + 2)(x + 3)$
o come dici giustamente tu da : $ (x - 1)(x - 2)(x + 3) = 4(x + 2)(x - 2)(x + 3)$
adesso applico il secondo principio di equivalenza e dividendo nel mio primo caso per $x+3$ che si annulla per $x=-3$ ottengo
$(x-1)=4(x+2)$ con soluzione $x=-3$ che non posso accettare, mentre nell'equazione di partenza è accettabile..per cui deduco che le due
equazioni non sono equivalenti.
Dal tuo caso ci arrivo dividendo per $(x-2)(x+3)$ che si annulla per $x=2$ $vv$ per $x=-3$ ma anche così arrivo a dedurre che per $x=2$ entrambe le equazioni perdono significato e qui ci siamo, ma per $x=-3$ la prima equazione di partenza trova la sua soluzione mentre quella di arrivo perde significato.
per cui ancora una volta deduco che non sono equivalenti.
è questo il punto che cerco di farti capire: non si può dividere per $x+3$ (così facendo abbasseresti il grado dell'equazione), ma è il contrario : raccogli a fattor comune e trovi come soluzione $x=-3$, che è quindi accettabile per entrambe , solo che per la prima equazione va contata due volte
è vero invece che $x=2$ non è soluzione, perchè nel primo caso va eliminata in quanto annulla il denominatore
riassumendo:
I equazione: scompongo in fattori ed ho:
$(x+3)^2(x-2)=0$
applico la legge di annullamento del prodotto:
$(x+3)^2 =0 , x= -3$ : è una soluzione doppia
$x-2=0 , x=2$ da scartare
II equazione :
$(x-1)=4(x-2), x = -3$
entrambe quindi ammettono $x=-3$ come soluzione, ma non sono equivalenti in quanto per la I equazione questa soluzione va contata due volte (era tutto qui l'"inghippo")
è vero invece che $x=2$ non è soluzione, perchè nel primo caso va eliminata in quanto annulla il denominatore
riassumendo:
I equazione: scompongo in fattori ed ho:
$(x+3)^2(x-2)=0$
applico la legge di annullamento del prodotto:
$(x+3)^2 =0 , x= -3$ : è una soluzione doppia
$x-2=0 , x=2$ da scartare
II equazione :
$(x-1)=4(x-2), x = -3$
entrambe quindi ammettono $x=-3$ come soluzione, ma non sono equivalenti in quanto per la I equazione questa soluzione va contata due volte (era tutto qui l'"inghippo")
A me l'equazione viene di secondo grado perchè l'ultima frazione si può semplificare
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 + (x^2 - 4)/(x - 2)$
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 +x+2$ con $x != +-2$
$-3+x(x+2)=4(x+3)(x+2)$
$-3x^2-18x-27=0$
$x^2+6x+9=0$
$(x+3)^2=0$
$x_1=x_2=-3$
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 + (x^2 - 4)/(x - 2)$
$- 3/(4x + 8) + x/4 = 1 +x+2$ con $x != +-2$
$-3+x(x+2)=4(x+3)(x+2)$
$-3x^2-18x-27=0$
$x^2+6x+9=0$
$(x+3)^2=0$
$x_1=x_2=-3$
II equazione :
$(x-1)=4(x-2), x = -3$
Ma tu come arrivi a questa equazione partendo dalla prima presa in esame se non dividi come ho fatto già presente prima? Nell'esercizio si chiede
come trasformare la prima equazione per arrivare a: $(x-1)=4(x-2)$
L'esercizio si basa proprio su questo...equazione di secondo grado facilmente riducibile al primo.
$(x-1)=4(x-2), x = -3$
Ma tu come arrivi a questa equazione partendo dalla prima presa in esame se non dividi come ho fatto già presente prima? Nell'esercizio si chiede
come trasformare la prima equazione per arrivare a: $(x-1)=4(x-2)$
L'esercizio si basa proprio su questo...equazione di secondo grado facilmente riducibile al primo.
Nelle equazioni non puoi dividere per un fattore contenente l'incognita, al massimo puoi raccoglierlo e poi usare la legge di annullamento del prodotto.
"@melia":
Nelle equazioni non puoi dividere per un fattore contenente l'incognita, al massimo puoi raccoglierlo e poi usare la legge di annullamento del prodotto.
che poi è quello che ho scritto io più volte
"Nicole93":
che poi è quello che ho scritto io più volte
Esattamente. Si vede che bisogna ripeterglielo ancora.
Consideriamo l'equazione
$(3x+4)(x-3)=(x+2)(x-3)$
E' di secondo grado, ma facilmente riducibile al primo. Si tratta di dividere entrambi i membri per una stessa espressione.
Infatti entrambi i membri contengono il fattore $x-3$: però, solo se fosse sempre $x-3!=0$, potremmo, dividendo entrambi i membri per $x-3$,
ottenere una equazione equivalente a quella data. Ma ciò non è possibile per cui possiamo affermare che l'equazione $3x+4=x+2$ ottenuta dividendo entrambi i membri
solo per $x!=3$ è equivalente a quella data.
E' questo che cercavo di spiegare....si può risolvere l'equazione riducendola di grado o fare come avete detto voi.
In questo caso io arrivo a dire che l'equazione di secondo grado ha soluzione $x=-1$ e questo lo deduco da quella ottenuta dividendo per $x-3$ che è di primo grado
e $x=3$ che il valore che annulla $x-3$. Abbiamo capito che non si può dividire per $x-3$ ma alla soluzione ci si arriva anche con questo procedimento.
$(3x+4)(x-3)=(x+2)(x-3)$
E' di secondo grado, ma facilmente riducibile al primo. Si tratta di dividere entrambi i membri per una stessa espressione.
Infatti entrambi i membri contengono il fattore $x-3$: però, solo se fosse sempre $x-3!=0$, potremmo, dividendo entrambi i membri per $x-3$,
ottenere una equazione equivalente a quella data. Ma ciò non è possibile per cui possiamo affermare che l'equazione $3x+4=x+2$ ottenuta dividendo entrambi i membri
solo per $x!=3$ è equivalente a quella data.
E' questo che cercavo di spiegare....si può risolvere l'equazione riducendola di grado o fare come avete detto voi.
In questo caso io arrivo a dire che l'equazione di secondo grado ha soluzione $x=-1$ e questo lo deduco da quella ottenuta dividendo per $x-3$ che è di primo grado
e $x=3$ che il valore che annulla $x-3$. Abbiamo capito che non si può dividire per $x-3$ ma alla soluzione ci si arriva anche con questo procedimento.
forse però ti sfugge il fatto che un'equazione ammette tante soluzioni quante ne indica il suo grado, per cui se è di II grado, come nel caso del tuo esempio, le soluzioni sono necessariamente 2
quindi un'equazione di II grado non potrà mai essere equivalente ad una di I grado, in quanto due equazioni sono equivalenti solo se ammettono le stesse soluzioni (stesso numero di soluzioni e stesso valore delle soluzioni)
quindi un'equazione di II grado non potrà mai essere equivalente ad una di I grado, in quanto due equazioni sono equivalenti solo se ammettono le stesse soluzioni (stesso numero di soluzioni e stesso valore delle soluzioni)
È la parola dividere che è bandita, in una equazione NON puoi dividere per un fattore che si annulli
È la parola dividere che è bandita, in una equazione NON puoi dividere per un fattore che si annulli
Infatti esistono le C.E. o C.A.
Consideriamo l'equazione $X^2-4=(x+2)^2$ che ha per soluzione $=-2$
Consideriamo adesso l'equazione $x-2=x+2$ ottenuta dividendo entrambi i membri per $x+2$ espressione che si annulla per
$x=-2$. Quindi anche qui io non posso dividere...per un fattore che si annulla. Ma allora come si spiega questo fatto se sul libro che ho usato si parla
di dividere per un fattore che si annulla'? Io quando risolvo un'equazione non divido per un fattore che si annulla....la parola dividere in questo caso è bandita!
Infatti esistono le C.E. o C.A.
Consideriamo l'equazione $X^2-4=(x+2)^2$ che ha per soluzione $=-2$
Consideriamo adesso l'equazione $x-2=x+2$ ottenuta dividendo entrambi i membri per $x+2$ espressione che si annulla per
$x=-2$. Quindi anche qui io non posso dividere...per un fattore che si annulla. Ma allora come si spiega questo fatto se sul libro che ho usato si parla
di dividere per un fattore che si annulla'? Io quando risolvo un'equazione non divido per un fattore che si annulla....la parola dividere in questo caso è bandita!
l'esempio che hai fatto contraddice tutto quanto hai detto finora, in quanto è proprio il classico esempio di come sia sbagliato dividere per zero! (infatti, visto che $x=-2$ è soluzione, è proprio quello che hai fatto)
infatti in questo caso hai ottenuto un'uguaglianza impossibile : $-2=2$!, proprio perchè hai compiuto un'operazione di divisione non consentita
del resto, se fai i calcoli ti accorgi che in questo caso l'equazione si abbassa di grado, in quanto la $x^2$ si elimina
potremmo sapere cosa c'è scritto esattamente nel tuo libro di testo? (oppure anche quali ne sono gli autori, in quanto se ho questo libro potrei anche andarmi a guardare questa parte)
infatti in questo caso hai ottenuto un'uguaglianza impossibile : $-2=2$!, proprio perchè hai compiuto un'operazione di divisione non consentita
del resto, se fai i calcoli ti accorgi che in questo caso l'equazione si abbassa di grado, in quanto la $x^2$ si elimina
potremmo sapere cosa c'è scritto esattamente nel tuo libro di testo? (oppure anche quali ne sono gli autori, in quanto se ho questo libro potrei anche andarmi a guardare questa parte)
In tutti gli esempi ho messo in evidenza il secondo principio di equivalenza: sottolineando che il fattore $M$ per cui tu moltiplichi o dividi i due membri di una equazione
non sempre è definito.
Accetto con piacere i vostri consigli!
Un primo esempio lo trovi a pag 347 esempio 4.
L'ultimo esempio che ho messo lo trovi a pag. 324 esempio 4.
Il libro è: nuovo corso di algebra volume 1 di Ghisetti e Corvi editori
non sempre è definito.
Accetto con piacere i vostri consigli!
Un primo esempio lo trovi a pag 347 esempio 4.
L'ultimo esempio che ho messo lo trovi a pag. 324 esempio 4.
Il libro è: nuovo corso di algebra volume 1 di Ghisetti e Corvi editori
trovato! (è il testo di Dodero-Baroncini)
l'esempio è stato dato proprio per mettere in evidenza il fatto (di cui ti ho parlato nell'intervento precedente) che non si può dividere per $x+2$, in quanto $x=-2$ è soluzione dell'equazione, e quindi divideresti per zero, andando così contro il II principio di equivalenza
questo è il motivo per cui sia io che @melia insistiamo a dirti che non si può dividere un'equazione per un termine contenente l'incognita
l'esempio è stato dato proprio per mettere in evidenza il fatto (di cui ti ho parlato nell'intervento precedente) che non si può dividere per $x+2$, in quanto $x=-2$ è soluzione dell'equazione, e quindi divideresti per zero, andando così contro il II principio di equivalenza
questo è il motivo per cui sia io che @melia insistiamo a dirti che non si può dividere un'equazione per un termine contenente l'incognita
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