Equazione di secondo grado

[PeppeFuoco]

Salve a tutti, ho diverse domande a proposito di quest'equazione riguardo aspetti di teoria. L'equazione è la seguente: [tex]x=\sqrt{19-2x}-8[/tex]
L'ho risolta e viene giusta controllando su Wolfram. L'ho risolta nel seguente modo:

[tex]\left ( x \right )^{2}= \left (\sqrt{19-2x}-8\right )^{2}[/tex]

[tex]x^{2}= 19-2x+64[/tex]

[tex]x^{2}+2x-83= 0[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+332}}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{336}}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{-2\pm4\sqrt{21}}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}=-1\pm2\sqrt{21}[/tex]

[tex]x_{1}=-1+2\sqrt{21}[/tex]

[tex]x_{2}=-1-2\sqrt{21}[/tex]

Le cose che non capisco sono queste:
1) Se avessi spostato all'inizio il "-8" dal secondo membro al primo membro, sarebbe cambiato completamente il risultato dell'equazione. Ovvero se avessi fatto questo:

[tex]x=\sqrt{19-2x}-8[/tex] --> [tex]x+8=\sqrt{19-2x}[/tex]

Perche dopo elevando primo e secondo membro al quadrato sarebbero cambiati i segni ecc... com'è possibile?

2) L'altra cosa che non so è: se avessi spostato il "-8" a primo membro e l'equazione fosse risultata così:

[tex]x+8=\sqrt{19-2x}[/tex]

una volta elevato primo e secondo membro al quadrato, avrei dovuto fare il doppio prodotto a primo membro o no?
Ovvero:

[tex]\left ( x+8 \right )^2[/tex] --> [tex]x^2+64+16x[/tex]

[axpgn]

Se quella iniziale è l'equazione, quelle che hai trovato non sono le soluzioni ...

[donald_zeka]

Mi sa che devi farti un bel ripasso dei prodotti notevoli

[mazzarri1]

E' il problema di usare sempre e comunque Wolfram

l'errore che fai è che

$(sqrt(19-2x)-8)^2$

non può certamente fare

$19-2x+64$

Prova a dar retta al tuo intuito e vai col punto 1) e 2) che hai scritto tu
ci scrivi i passaggi che magari vediamo assieme se hai dei dubbi?

Una ultima raccomandazione... la tua equazione va sotto il capitolo "equazioni irrazionali" e ha una teoria alle spalle... devi per esempio porre delle condizioni al contorno prima di risolverla e alla fine verificarle, lo hai studiato a scuola?

[PeppeFuoco]

Si, effettivamente avevo sbagliato a mettere su wolfram solamente l'equazione prima di fare il delta, quindi questa qui:
[tex]x^2+2x-83=0[/tex]
E quindi mi dava quei due risultati.
In ogni caso, ho proseguito con l'ipotesi che avevo scritto procedendo in questo modo:

[tex]x + 8 = \sqrt{19 - 2x}[/tex]

[tex](x+8)^2 = 19 - 2x[/tex]

[tex]x^2 + 64 + 16x = 19 - 2x[/tex]

[tex]x^2 + 18x + 45 = 0[/tex]

[tex]x_{1,2}= \frac{-18 \pm \sqrt{324-180}}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}= \frac{-18 \pm \sqrt{144}}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}= \frac{-18 \pm 12}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}= -9 \pm 6[/tex]

[tex]x_{1}= -3[/tex]

[tex]x_{2}= -15[/tex]

Dopodichè facendo il campo d'esistenza della radice quadrata:

C.E. [tex]19-2x \geq 0[/tex]

[tex]-2x \geq -19[/tex]

[tex]2x \leq 19[/tex]

[tex]x \leq \frac{19}{2}[/tex]

Quindi entrambe le soluzioni [tex]x_{1}=-3[/tex] e [tex]x_{2}=-15[/tex] stanno nel dominio.
A quanto pare Wolfram non è d'accordo, dice che c'è un' unica soluzione che è [tex]x= -3[/tex].
Perchè?

[andar9896]

Perché elevando al quadrato la nuova equazione può ammettere anche soluzioni che quella originale non ammetteva... prova infatti a sostituire $-3$ e $-15$ nell'equazione originale
Se ci pensi bene infatti bisogna imporre anche che $x+8>0$ perché altrimenti ti troveresti una radice uguale ad un numero negativo, cosa che sai essere impossibile.

[LorySdl]

Perchè una volta che trovi le soluzioni della tua equazione, anche se appartengono al dominio devi verificarle.
Bisogna provare sia [tex]x_{1}= -3[/tex] sia [tex]x_{2}= -15[/tex].
Quindi:

[tex]x+8 = \sqrt{19 - 2x}[/tex]

1)
[tex]-3 +8 = \sqrt{19 - 2(-3)}[/tex]

[tex]5 = \sqrt{25}[/tex]

[tex]5 = 5[/tex] quindi [tex]x_{1}= -3[/tex] è verificata.

2)
[tex]-15 + 8 = \sqrt{19 - 2(-15)}[/tex]

[tex]-7 = \sqrt{49}[/tex]

[tex]-7 \neq 7[/tex] quindi [tex]x_{2}= -15[/tex] non è verificata.

Dunque l'unica soluzione dell'equazione è [tex]x_{1}= -3[/tex]
Se non hai capito qualcosa chiedi pure.

[donald_zeka]

Perchè una volta che trovi le soluzioni della tua equazione, anche se appartengono al dominio devi verificarle.

Non è vero. Le verifiche non si fanno mai alla fine.

Quando si risolve una equazione del tipo:

$A(x)=sqrt(b(x))$

Per prima cosa va trovato il dominio delle soluzioni:

$A(x)>=0 uu b(x)>=0$

In seguito si risolve nel modo consueto, e si prendono le soluzioni che appartengono al dominio trovato, ma non si deve fare alcuna verifica. L'errore commesso qui è non aver fatto $A(x)>=0$

[LorySdl]

Non è vero, come vedi anche qui nell'esempio: http://www.****.it/lezioni/algebra-e ... onali.html
Si può anche fare alla fine.

[axpgn]

Scusami LorySdl, ma non è il modo migliore per risolverle ...
Quello indicato da Vulplasir è il metodo che possiamo considerare standard, se poi vuoi verificare alla fine, fallo pure, però è una fatica in più e non necessaria ...

Cordialmente, Alex

[PeppeFuoco]

Grazie mille a tutti, ma Vulplasir te hai scritto che il dominio corrisponde all'unione dei due campi d'esistenza. Non dovrebbe essere l'intersezione?

[donald_zeka]

Si, ho sbagliato