Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x
Sto cercando di determinare l'equazione dell'iperbole con i fuochi $F_1$ e $F_2$ sull'asse x e centro nell'origine degli assi.
Quindi le coordinate dei fuochi sono $F_1 (-c, 0)$ e $F_2 (c, 0)$.
Se un generico punto del piano $P(x,y)$ appartiene all'iperbole allora $|PF_1 - PF_2| = 2a$
con la formula della distanza tra due punti ottengo:
$| sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt ((x+c)^2 + y^2)| = 2a$ => $ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = +2a$ o $-2a$.
Ora, siccome $a$ è un valore costante e positivo, io considererei soltanto $2a$ scartando $-2a$ e cercherei di semplificare l'equazione. Tuttavia, così facendo arrivo a : $cx = -a^2 -a sqrt((x+c)^2 + y^2)$. Il secondo membro è sempre negativo, pertanto per $x>0$ o $x=0$ l'equazione è impossibile, e questo mi sembra strano dato che per $x$ positivi io riesco a disegnare un ramo di iperbole simmetrico a quello per $x$ negativi.
Dove sbaglio?
Quindi le coordinate dei fuochi sono $F_1 (-c, 0)$ e $F_2 (c, 0)$.
Se un generico punto del piano $P(x,y)$ appartiene all'iperbole allora $|PF_1 - PF_2| = 2a$
con la formula della distanza tra due punti ottengo:
$| sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt ((x+c)^2 + y^2)| = 2a$ => $ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = +2a$ o $-2a$.
Ora, siccome $a$ è un valore costante e positivo, io considererei soltanto $2a$ scartando $-2a$ e cercherei di semplificare l'equazione. Tuttavia, così facendo arrivo a : $cx = -a^2 -a sqrt((x+c)^2 + y^2)$. Il secondo membro è sempre negativo, pertanto per $x>0$ o $x=0$ l'equazione è impossibile, e questo mi sembra strano dato che per $x$ positivi io riesco a disegnare un ramo di iperbole simmetrico a quello per $x$ negativi.
Dove sbaglio?
Risposte
Sbagli pensando che non sia possibile che una differenza
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) $
non possa essere negativa.
Infatti il ramo di iperbole che ottieni con i tuoi calcoli è quello con le $x$ negative, cioè quello con distanza da $F_2$ maggiore di quella da $F_1$. Lasciando il simbolo $+-$ davanti a $2a$, invece, consideri entrambi i casi.
Ottieni
$ cx = -a^2 +-a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ che poi, trasformandolo in $ cx +a^2 =+-a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ si può elevare nuovamente al quadrato ottenendo la classica equazione dell'iperbole.
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) $
non possa essere negativa.
Infatti il ramo di iperbole che ottieni con i tuoi calcoli è quello con le $x$ negative, cioè quello con distanza da $F_2$ maggiore di quella da $F_1$. Lasciando il simbolo $+-$ davanti a $2a$, invece, consideri entrambi i casi.
Ottieni
$ cx = -a^2 +-a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ che poi, trasformandolo in $ cx +a^2 =+-a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ si può elevare nuovamente al quadrato ottenendo la classica equazione dell'iperbole.
"@melia":
Sbagli pensando che non sia possibile che una differenza
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) $
non possa essere negativa.
Infatti il ramo di iperbole che ottieni con i tuoi calcoli è quello con le $x$ negative, cioè quello con distanza da $F_2$ maggiore di quella da $F_1$. Lasciando il simbolo $+-$ davanti a $2a$, invece, consideri entrambi i casi.
Ottieni
$ cx = -a^2 +-a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ che poi, trasformandolo in $ cx +a^2 =+-a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ si può elevare nuovamente al quadrato ottenendo la classica equazione dell'iperbole.
Probabilmente mi ha tratto in inganno il libro perché c'è scritto che $a$ è un valore costante (ovvio) e positivo, quando invece se $PF_1 < PF_2$, $PF_1 - PF_2$ è negativo e pertanto anche $a$
$a$ continua a restare positivo, quello che è negativo è $-a$
"@melia":
$a$ continua a restare positivo, quello che è negativo è $-a$
Però da $cx + a^2 = -a sqrt((x+c)^2 + y^2)$, per elevare entrambi i membri al quadrato, dovrei dedurre che $cx + a^2$ sia sempre negativo, e a me non sembra evidente come cosa. Se sto considerando le $x$ negative $cx$ è certamente negativo però se ci sommo $a^2$ potrebbe venire una quantità positiva. Anche se prendo le $x$ nell'intervallo $(- oo, 0)$, proprio perché il primo membro non è sempre negativo, non posso semplicemente elevare al quadrato perché altrimenti, per alcuni valori di $x$, starei elevando al quadrato una quantità positiva e una quantità negativa ottenendo un'equazione corretta (ma non lo era quella di partenza).
Calma e sangue freddo, stai rovesciando una frittata che è già stata girata.
Avevi
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = +2a $ e, con tutti i passaggi ottenevi
$ cx = -a^2 -a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ cioè $ cx +a^2= -a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ che hai descritto come il ramo di iperbole con le $x$ negative, che è vero.
Per l'altro ramo di iperbole ti serve $ cx = -a^2 +a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ e questo lo puoi ottenere solo se poni inizialmente
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = -2a $
Avevi
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = +2a $ e, con tutti i passaggi ottenevi
$ cx = -a^2 -a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ cioè $ cx +a^2= -a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ che hai descritto come il ramo di iperbole con le $x$ negative, che è vero.
Per l'altro ramo di iperbole ti serve $ cx = -a^2 +a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ e questo lo puoi ottenere solo se poni inizialmente
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = -2a $
"@melia":
Calma e sangue freddo, stai rovesciando una frittata che è già stata girata.
Avevi
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = +2a $ e, con tutti i passaggi ottenevi
$ cx = -a^2 -a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ cioè $ cx +a^2= -a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ che hai descritto come il ramo di iperbole con le $x$ negative, che è vero.
Per l'altro ramo di iperbole ti serve $ cx = -a^2 +a sqrt((x+c)^2 + y^2) $ e questo lo puoi ottenere solo se poni inizialmente
$ sqrt ((x-c)^2 + y^2) - sqrt((x+c)^2 + y^2) = -2a $
Il tuo punto è chiaro, l'unica cosa che mi lascia un po' perplesso è perché sia lecito elevare entrambi i membri al quadrato quando sono nella situazione $cx + a^2 = -a sqrt((x+c)^2 + y^2)$. Se i due membri sono entrambi positivi o entrambi negativi va bene, altrimenti no.
Comunque ti ringrazio per avermi spiegato il perché del mio risultato, almeno lo riesco a giustificare.
"HowardRoark":
Il tuo punto è chiaro, l'unica cosa che mi lascia un po' perplesso è perché sia lecito elevare entrambi i membri al quadrato quando sono nella situazione $cx + a^2 = -a sqrt((x+c)^2 + y^2)$. Se i due membri sono entrambi positivi o entrambi negativi va bene, altrimenti no.
Se vuoi puoi aggiungere la condizione sulla $x$, quei due membri sono entrambi negativi.
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