Equazione della parabola data una tangente

[Wolf291]

Salve a tutti...Io sono nuovo in questo forum e subito comincio con un problema urgente (sarebbe entro stasera) da chiedervi....
Devo determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per il punto P (-3,2) e tangente alla retta 4x-y+2=0 nel punto (-1,-2).
Qualcuno mi può aiutare a fare l'esercizio?

[Benny24]

Dunque:
-la direzione dell'asse ci dice che l'equazione della parabola è della forma $y=ax^2+bx+c$
-metti a sistema le equzioni della parabola e della retta e trovi che $ax^2+(b-4)x+c-2=0$. La soluzione è unica $(x=-1)$, quindi scrivi $(4-b)/(2a)=-1$ (EQ 1) e, sostituendo il valore della x nella parabola, hai che $y=-2=a-b+c$ (EQ 2)
-inserisci i valori (x,y) del punto P nell'equazione iniziale della parabola e trovi EQ 3
-metti eq 1, 2 e 3 a sistema e dovresti essere a posto

[adaBTTLS1]

benvenuto nel forum.

devi prendere l'equazione generale $y=ax^2+bx+c$
dal passaggio per P(-3,2) si ricava $2=9a-3b+c$
dal passaggio per il punto di tangenza (-1,-2) si ricava $-2=a-b+c$
il tutto solo con sostituzioni delle variabili x,y.
mettendo a sistema l'equazione della parabola e quella della retta si ricava $ax^2+(b-4)x+(c-2)=0$, da cui imponendo $Delta=0$ si ha $(b-4)^2-4a(c-2)=0$.
se metti a sistema
$2=9a-3b+c$
$-2=a-b+c$
$(b-4)^2-4a(c-2)=0$
dovresti ottenere quello che cerchi.
spero sia chiaro.
prova a ripercorrere i passaggi ed a svolgere i calcoli.
facci sapere come va. ciao.

[Wolf291]

Grazie ad entrambi .
Ho però ancora un dubbio...adaBTTLS puoi spiegarmi meglio cosa intendi dire quando dici "dal passaggio per il punto P si ricava..."? Quali sono i passaggi da svolgere per arrivare a quella conclusione?
Stessa cosa per il punto di tangenza...

[adaBTTLS1]

ho parlato di sostituzione delle variabili:
$y=ax^2+bx+c$
$P(-3,2)$, cioè $x=-3$ e $y=2$, da sostituire nell'equazione precedente: $2=a*(-3)^2+b*(-3)+c$
e analogamente per l'altro punto.
è chiaro? ciao.

[Wolf291]

Ok chiaro. Grazie ciao

[adaBTTLS1]

prego.

[franced]

"Wolf29":
...determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y,
passante per il punto P (-3,2) e tangente alla retta 4x-y+2=0 nel punto (-1,-2).

Allora: la parabola ha la seguente equazione:

$y = a(x+1)^2 + b(x+1) -2$

(deve passare dal punto $(-1,-2)$);
visto poi che la retta tangente nel punto $(-1,-2)$ ha coefficiente pari a $4$
(la retta ha equazione $y = 4 x + 2$), il coefficiente $b$ deve essere uguale a $4$.

Quindi per il momento abbiamo

$y = a(x+1)^2 + 4(x+1) - 2$.

Imponiamo infine il passaggio per il punto di coordinate $P (-3,2)$:

$2 = a(-3+1)^2 + 4(-3+1) - 2$

$2 = 4a - 10$

$a = 3$

quindi la parabola ha equazione:

$y = 3(x+1)^2 + 4(x+1) - 2$ ;

svolgendo i calcoli si trova:

$y = 3x^2 + 10 x + 5$ .

Si osservi che non ho calcolato nessun delta..