Equazione della parabola

[s4lv4tor3]

Ho 5 esercizi mi aiutate gentilmente a fare questo esercizio? grazie mille!

Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x, tangente alla retta di equazione x = -1 e avente fuoco in F (-1/4 , 2).

(risultato: x = 1/3y^2 - 4/3y +1/3)

[BIT5]

Viene richiesta l'equazione della parabola della forma

[math] x=ay^2+by+c [/math]

in quanto con asse parallelo all'asse x.

Sappiamo che:

la x del fuoco e'

[math] x_F= \frac{1- \Delta}{4a}= \frac{1-b^2+4ac}{4a}=- \frac14 [/math]

La y del fuoco e'

[math] y_F=- \frac{b}{2a}=2 [/math]

Quindi mettendo a sistema, dalla seconda ricavo

[math] - \frac{b}{2a}=2 \to b=-4a [/math]

E quindi sostituendo nella prima

[math] \frac{1-b^2+4ac}{4a}=- \frac14 \to -1+b^2-4ac=a [/math]

E quindi sostituendo

[math] -1+16a^2+4ac=a \to c=\frac{-16a^2+a+1}{4a} [/math]

La parabola sara'

[math] x=ay^2-4ay+ \frac{-16a^2+a+1}{4a} [/math]

A questo punto metto a sistema con la retta x=-1 e quindi

[math] -1=ay^2-4ay+ \frac{-16a^2+a+1}{4a} [/math]

E quindi, minimo comunne multiplo:

[math] -4a=-4a^2y^2-16a^2y-16a^2+a+1 \to 4a^2y^2+16a^2y+16a^2-5a-1=0 [/math]

Calcolo il delta della soluzione:

[math] \Delta=(16a^2)^2-4(4a^2)(16a^2-5a-1)[/math]

e lo pongo = 0.

I valori di a che soddisfano l'equazione del delta sono quelli che fanno in modo che i punti di intersezione tra le infinite parabole e la retta siano coincidenti.

Ricontrolla i calcoli, ma il procedimento e' corretto