Equazione conica passante per punto equidistante da O e da una retta
Ciao a tutti, sto riscontrando alcune difficoltà con questo esercizio
"Costruisci l'equazione di una conica passante per il punto $ P(x;y) $ equidistante dalla retta di equazione $ y+x-2=0 $ e dall'origine degli assi cartesiani $ O(0;0) $ . Identifica quindi la conica e riducila in forma canonica."
Innanzitutto per costruire l'equazione della conica ho eguagliato le formule della distanza dalla retta e dal punto:
$ (|ax_P+by_P+c|)/(root(2)(a^2+b^2))=root(2)((x_P)^2+(y_P)^2) $
Svolgendo i calcoli ottengo: $ xy-2y-2x+2=0 $ , l'equazione di un'iperbole in quanto $ Delta=1 $ , quindi $ Delta>0 $ .
Sto avendo tuttavia dei dubbi sulla mia risoluzione, e non avendo risultati non mi è possibile controllarne la correttezza.
"Costruisci l'equazione di una conica passante per il punto $ P(x;y) $ equidistante dalla retta di equazione $ y+x-2=0 $ e dall'origine degli assi cartesiani $ O(0;0) $ . Identifica quindi la conica e riducila in forma canonica."
Innanzitutto per costruire l'equazione della conica ho eguagliato le formule della distanza dalla retta e dal punto:
$ (|ax_P+by_P+c|)/(root(2)(a^2+b^2))=root(2)((x_P)^2+(y_P)^2) $
Svolgendo i calcoli ottengo: $ xy-2y-2x+2=0 $ , l'equazione di un'iperbole in quanto $ Delta=1 $ , quindi $ Delta>0 $ .
Sto avendo tuttavia dei dubbi sulla mia risoluzione, e non avendo risultati non mi è possibile controllarne la correttezza.
Risposte
Credo che il testo vada interpretato come "Trova l'equazione della conica che è il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ equidistanti da ..."
Se è così, il procedimento è giusto ma mi pare che tu abbia sbagliato i calcoli. L'equazione è
$(|x+y-2|)/sqrt(1+1)=sqrt(x^2+y^2)$
che con qualche passaggio dà
$x^2-2xy+y^2+4x+4y-4=0$
Anche senza calcoli, la tua soluzione non può essere giusta: il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e da una retta è la parabola avente quel punto come fuoco e quella retta come direttrice.
Ho una perplessità: la parabole ruotate rientrano nel programma delle medie superiori?
Inoltre il tuo titolo è sbagliato: il punto P non è unico e, se anche lo fosse, ci sono infinite coniche passanti per un punto.
Se è così, il procedimento è giusto ma mi pare che tu abbia sbagliato i calcoli. L'equazione è
$(|x+y-2|)/sqrt(1+1)=sqrt(x^2+y^2)$
che con qualche passaggio dà
$x^2-2xy+y^2+4x+4y-4=0$
Anche senza calcoli, la tua soluzione non può essere giusta: il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e da una retta è la parabola avente quel punto come fuoco e quella retta come direttrice.
Ho una perplessità: la parabole ruotate rientrano nel programma delle medie superiori?
Inoltre il tuo titolo è sbagliato: il punto P non è unico e, se anche lo fosse, ci sono infinite coniche passanti per un punto.
Se pensato come un esercizio sulle trasformazioni del piano, perché no.
"giammaria":
Credo che il testo vada interpretato come "Trova l'equazione della conica che è il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ equidistanti da ..."
Se è così, il procedimento è giusto ma mi pare che tu abbia sbagliato i calcoli. L'equazione è
$(|x+y-2|)/sqrt(1+1)=sqrt(x^2+y^2)$
che con qualche passaggio dà
$x^2-2xy+y^2+4x+4y-4=0$
Anche senza calcoli, la tua soluzione non può essere giusta: il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e da una retta è la parabola avente quel punto come fuoco e quella retta come direttrice.
Ho una perplessità: la parabole ruotate rientrano nel programma delle medie superiori?
Inoltre il tuo titolo è sbagliato: il punto P non è unico e, se anche lo fosse, ci sono infinite coniche passanti per un punto.
Grazie mille. Effettivamente ho sbagliato i calcoli. Inoltre anch'io ero confusa riguardo al testo dell'esercizio, dato che ci è stato dato a voce devo averlo trascritto in modo errato.
Comunque sì, la trattazione delle coniche ruotate rientra nel programma, o almeno noi le stiamo trattando.
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