Equazione con valori assoluti
Data l'equazione:
$|x-1|+ |x^6+x+1| =0$
si capisce benissimo che è impossibile!
Ho però un dubbio:
per la soluzione determiniamo per quali valori di $x$ gli argomenti dei moduli sono positivi o nulli
otteniamo così:
$x-1 >=0->x=>=1
$x^6+x+1>=0->x^6+x>=-1$
Abbiamo così tre casi ed arriviamo ad avere tre sistemi:
$1)$
$x<-1$ e
$-x+1-x^6-x-1$
$2)$
$-1<=x<=1$
$-x+1+x^6+x+1$
$3)$
$x>1$
$x-1+x^6+x+1$
Quando però risolvo i sistemi il primo è accettabile e gli altri due $O/$
Dovrebbero risultare impossibili...c'è qualcosa che non comprendo.
[mod="WiZaRd"]Trattasi di un'equazione, non di una disequazione.[/mod]
$|x-1|+ |x^6+x+1| =0$
si capisce benissimo che è impossibile!
Ho però un dubbio:
per la soluzione determiniamo per quali valori di $x$ gli argomenti dei moduli sono positivi o nulli
otteniamo così:
$x-1 >=0->x=>=1
$x^6+x+1>=0->x^6+x>=-1$
Abbiamo così tre casi ed arriviamo ad avere tre sistemi:
$1)$
$x<-1$ e
$-x+1-x^6-x-1$
$2)$
$-1<=x<=1$
$-x+1+x^6+x+1$
$3)$
$x>1$
$x-1+x^6+x+1$
Quando però risolvo i sistemi il primo è accettabile e gli altri due $O/$
Dovrebbero risultare impossibili...c'è qualcosa che non comprendo.
[mod="WiZaRd"]Trattasi di un'equazione, non di una disequazione.[/mod]
Risposte
Hai sbagliato nel togliere il secondo modulo: chi ti dice che per [tex]x<-1[/tex] l'argomento del secondo modulo sia negativo? E.g. [tex]x=-2[/tex]: allora [tex]x^{6}+x+1=63>0[/tex].
Non ho afferrato quello che dici....
Hai da risolvere [tex]\lvert x-1 \rvert + \lvert x^{6}+x+1 \rvert =0[/tex].
Per togliere i moduli devi studiare gli argomenti:
- [tex]x-1\geqslant 0 \iff x\geqslant1[/tex]
- [tex]x^{6}+x+1\geqslant0 \iff \cdots[/tex]
Se non trovi una soluzione al posto dei puntini, non puoi sapere come si comporta il secondo argomento: la seconda disequazione non si risolve portando [tex]+1[/tex] da una parte all'altra.
Per togliere i moduli devi studiare gli argomenti:
- [tex]x-1\geqslant 0 \iff x\geqslant1[/tex]
- [tex]x^{6}+x+1\geqslant0 \iff \cdots[/tex]
Se non trovi una soluzione al posto dei puntini, non puoi sapere come si comporta il secondo argomento: la seconda disequazione non si risolve portando [tex]+1[/tex] da una parte all'altra.
"marcus112":
Data l'equazione:
$|x-1|+ |x^6+x+1| =0$
si capisce benissimo che è impossibile!
D'accordo su questo. Per il resto vedi quando ti ha già detto WiZaRd.
Prova a risolvere questa $|x-1|+ |x^6-2x+1| =0$
Intanto chiedo se va bene questa soluzione:
$X^6+x+1>=0->x^6 + x >= -1->x(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) >= -1$
Studiamo adesso il segno dei fattori:
$x > 0$
$x + 1 > 0 -> x > -1$
$x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0$ $Vero$
La soluzione è: $x<= -1 vv x >=0$
$X^6+x+1>=0->x^6 + x >= -1->x(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) >= -1$
Studiamo adesso il segno dei fattori:
$x > 0$
$x + 1 > 0 -> x > -1$
$x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0$ $Vero$
La soluzione è: $x<= -1 vv x >=0$
Io non ho capito quello che hai fatto.
Quando si studia il segno dei fattori lo si studia per determinare quando il loro prodotto è positivo o nullo, non per determinare quando il loro prodotto è maggiore o minore di un certo numero.
Che hai fatto?
Quando si studia il segno dei fattori lo si studia per determinare quando il loro prodotto è positivo o nullo, non per determinare quando il loro prodotto è maggiore o minore di un certo numero.
Che hai fatto?
- [tex]x^{6}+x+1\geqslant0 \iff \cdots[/tex]
Ho capito bene quello che dici....ma essendo non scomponibile $x^6+x+1$ come si fa in questi casi?
Altro dubbio si tratta di una disequazione di sesto grado ?
Ho capito bene quello che dici....ma essendo non scomponibile $x^6+x+1$ come si fa in questi casi?
Altro dubbio si tratta di una disequazione di sesto grado ?
Prova a risolvere questa $|x-1|+ |x^6-2x+1| =0$
$x-1>=0->x>=1$
$x^6-2x+1>=0->x<=1vvx>=1$
Non metto il grafico con i sistemi ottenuti: la disequazione ha come soluzione $x=1$
Ho però un dubbio: posso vedere come risolvi:
$x^6-2x+1>=0$
Io ho messo direttamente il risultato ma ripeto ho dubbi.
Di che disequazione si tratta grado..ect!
Grazie.
$x-1>=0->x>=1$
$x^6-2x+1>=0->x<=1vvx>=1$
Non metto il grafico con i sistemi ottenuti: la disequazione ha come soluzione $x=1$
Ho però un dubbio: posso vedere come risolvi:
$x^6-2x+1>=0$
Io ho messo direttamente il risultato ma ripeto ho dubbi.
Di che disequazione si tratta grado..ect!
Grazie.
Non lo risolvo. da $|x-1|+|x^6-2x+1|=0$ ricavo $|x-1|= -|x^6-2x+1|$ e due numeri non negativi sono uguali solo se si annullano contemporaneamente, perciò l'esercizio si riduce a $\{(x-1= 0),(x^6-2x+1=0):}$, la prima equazione si annulla in 1, dove si annulla anche la seconda, quindi la soluzione è $x=1$.
Quello che volevo mettere in evidenza con questo esercizio è la tua frase di apertura "si capisce benissimo che è impossibile!", ok, si capisce, ma devi motivare perché, i calcoli non sono obbligatori, la motivazione sì.
Quello che volevo mettere in evidenza con questo esercizio è la tua frase di apertura "si capisce benissimo che è impossibile!", ok, si capisce, ma devi motivare perché, i calcoli non sono obbligatori, la motivazione sì.
"@melia":
Non lo risolvo. da $|x-1|+|x^6-2x+1|=0$ ricavo $|x-1|= -|x^6-2x+1|$ e due numeri non negativi sono uguali solo se si annullano contemporaneamente, perciò l'esercizio si riduce a $\{(x-1= 0),(x^6-2x+1=0):}$, la prima equazione si annulla in 1, dove si annulla anche la seconda, quindi la soluzione è $x=1$.
Quello che volevo mettere in evidenza con questo esercizio è la tua frase di apertura "si capisce benissimo che è impossibile!", ok, si capisce, ma devi motivare perché, i calcoli non sono obbligatori, la motivazione sì.
Sono d'accordo con @melia.
E' un tipico esempio che faccio in classe.
Ma se volessi risolvere:
$x^6-2x+1>=0$
utilizzando anche la scomposizione come potrei fare?
Grazie
$x^6-2x+1>=0$
utilizzando anche la scomposizione come potrei fare?
Grazie
Non potresti fare molto. Il polinomio ha due zeri di cui uno solo razionale, cioè $1$. L'altro zero è abbastanza vicino a $1/2$, ma non è razionale. Potresti eventualmente risolvere la disequazione graficamente. Il mio esercizio, comunque, non richiedeva la soluzione della disequazione.
Grazie per i chiarimemti.
Propongo un mio dubbio:
La risoluzione di disequazioni di grado superiore al secondo è possibile se si riesce a scomporre in fattori il polinomio associato.
In tal caso, si studia il segno di ogni fattore separatamente e si costruisce la tabella dei segni.
Nei casi come questo:
$x^6+x+1>=0$ dove il polinomio non è scomponibile che metodo si deve usare...
Ho guardato in giro ma senza avere risposta.
Propongo un mio dubbio:
La risoluzione di disequazioni di grado superiore al secondo è possibile se si riesce a scomporre in fattori il polinomio associato.
In tal caso, si studia il segno di ogni fattore separatamente e si costruisce la tabella dei segni.
Nei casi come questo:
$x^6+x+1>=0$ dove il polinomio non è scomponibile che metodo si deve usare...
Ho guardato in giro ma senza avere risposta.
oltre il quarto grado non li trovi a livello delle superiori, per gradi superiori non so, ma non credo sia roba si possa spiegare così su due piedi, ma lascio parlare chi ne sa più di me.
c'è questo interessante articolo
http://www.inftube.com/scienze/matemati ... M33767.php
in cui si legge:
la ricerca di una formula che permettesse di risolvere le equazioni di grado superiore al quarto, viene abbandonata in quanto era stata dimostrata la sua inesistenza.
http://www.inftube.com/scienze/matemati ... M33767.php
in cui si legge:
la ricerca di una formula che permettesse di risolvere le equazioni di grado superiore al quarto, viene abbandonata in quanto era stata dimostrata la sua inesistenza.
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