Equazione con logaritmi

[Ster24]

$ln((x^2-x)/(1+2x)) + ln(2) = 0$

Dopo essermi ricavato le condizioni di esistenza, che mi consentono di dire che: $x>1$ e $1/2
Allora passo a confrontare gli argomenti:

$(x^2-x)/(1+2x) + 2 = 0$ e mi trovo come soluzioni $-2$ e $-1$, ma il libro mi da risultati completamente diversi. Dove sbaglio concettualmente?

[axpgn]

Prima di tutto il C.E. è $x>1 ^^ -1/2

[Ster24]

Il campo di esistenza l'ho fatto bene, ho sbagliato a ricopiare. Mi sapresti far capire perchè è un errore? Grazie mille per la disponibilità.

[axpgn]

Beh, se te lo devo spiegare allora la cosa è ancora più grave
Secondo te che ci siano i logaritmi oppure no è indifferente?

[Ster24]

Assolutamente no! Dopo le condizioni di esistenza e se hanno la stessa base per trovare le soluzioni posso uguagliare gli argomenti, no?

[axpgn]

Naaah, non così!
Cosa dice il libro? Perché, in certe condizioni, si può trasformare l'uguaglianza di due logaritmi in un'uguaglianza degli argomenti?

[Ster24]

Devo avere in primis che gli argomenti devono essere strettamente positivi. Poi ricordando che $f(x)=g(x)$ se e solo se $log(f(x)) = log(g(x))$ per risolvere l'equazione devo risolvere $f(x)=g(x)$ e controllare che le soluzioni soddisfano le condizioni di esistenza. Questo ho sul libro!

[axpgn]

E quella che hai scritto ti pare un'uguaglianza di logaritmi (cioè $log(f(x))=log(g(x))$ ?
Oppure è una SOMMA di logaritmi? Non sono la stessa cosa …

[Ster24]

Ok ci sono e non posso considerare $log(f(x))= - log(g(x))$? e sfrutto la proprietà nel secondo membro?

[axpgn]

Certo che sì … rileggiti comunque quelle condizioni e cerca di comprendere bene il loro significato altrimenti la prossima volta, in una situazione diversa e magari un pochino più complicata, potresti ricadere nel medesimo errore.

[Ster24]

Ho capito perfettamente, ti ringrazio per avermici guidato!!!