Equazione con Formule Parametriche
Ciao a tutti. Non so se ho svolto bene questa equazione con le formule parametriche: >$senx+cosx=sqrt2$ , ho risolto con le formule parametriche e se ho svolto bene, ma non ne sono sicuro poichè ho dei dubbi e sono arrivato a $t^2(1+sqrt2)-2t+(-1+sqrt2)=0$ . Ora ho risolto l'equazione di secnodo grado e mi trovo $1/(1+sqrt2$ , a questo punto ho razionalizzato, e proprio quiì ho dei dubbi e ho moltiplicato numeratore e denominatore per $1-sqrt2$ , ho mmoltiplicato e mi viene: $t=-1+sqrt2$ quindi essendo $t=tg(x/2)$ ho moltiplicato $(-1+sqrt2)$ per 2 e mi viene $tgx=-2+2sqrt2$ . Ora non so se esatto, poiche non ho la soluzione su libro e inoltre penso di aver sbagliato qualche calcolo con i radicali. Spero in una vostra risposta. GVi Ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi offrirete. Grazie & Ciao. 
Risposte
"smemo89":
quindi essendo $t=tg(x/2)$ ho moltiplicato $(-1+sqrt2)$ per 2 e mi viene $tgx=-2+2sqrt2$ .
Attenzione smemo: se decidi di moltiplicare per due, non puoi andare a moificare l'argomento della tangente.
Ti spiego: se hai
$tanx=3$ e moltiplichi per due ottieni
$2tanx=6$
e NON
$tan2x=6$
Il due deve moltiplicare "di fuori", non dentro l'argomento.
Avrai quindi nel tuo caso
$tan(x/2)=sqrt2-1$ ma questo risultato, anche se forse poco noto, potrai trovarlo nelle tavole e ottieni che
$x/2=pi/8$ con l'aggiunta della periodicità della tangente, che sicuramente conoscerai.
Per trovare la $x$ da sola, moltiplica per due ambo i menbri della soluzione.
Chiaro?
Ciao.
Ciao. Scusa, ma io ho moltiplicato per du perchè "dovevo passare da t a tgx" . Non so se però ho capito bene quello che intendevi dire. Inoltre, in generale, secondo te è esatto il mio procedimento e la soluzione che mi sono trovato? Grazie.
"smemo89":
Ciao. Scusa, ma io ho moltiplicato per du perchè "dovevo passare da t a tgx" . Non so se però ho capito bene quello che intendevi dire. Inoltre, in generale, secondo te è esatto il mio procedimento e la soluzione che mi sono trovato? Grazie.
No, non è esatto per un motivo semplice:
non è vero che
$tanx=2tan(x/2)$
Tu trovi $t$ (che poi sarebbe $tan(x/2)$), ok. Ma se poi vuoi passare alla tangente dell'angolo doppio ($x$) no puoi moltiplicare per due, perchè puoi dire solo che
$2t=2tan(x/2)$ E NON
$2t=tanx$
Ti è più chiaro ora?
Scusa. Allora per esempio: $t=3$ , ora $t=tg(x/2)$ , quindi $tg(x/2)=3$ . Ora la tangente $tgx$ a quanto è uguale?
Sappiamo che valgono queste due relazioni
$sinx=frac{2t}{1+t^2}$
$cosx=frac{1-t^2}{1+t^2)$
perciò
$tanx=(sinx)/cosx=frac{2t}{1+t^2}/frac{1-t^2}{1+t^2)=frac{2t}{1-t^2}$
Questa è la formula che puoi usare se hai la tangente di $x/2$ per trovare $tanx$ o viceversa.
Quindi nel caso che mi hai proposto, dovresti sostituire $3$ al posto di $t$.
Ciao
$sinx=frac{2t}{1+t^2}$
$cosx=frac{1-t^2}{1+t^2)$
perciò
$tanx=(sinx)/cosx=frac{2t}{1+t^2}/frac{1-t^2}{1+t^2)=frac{2t}{1-t^2}$
Questa è la formula che puoi usare se hai la tangente di $x/2$ per trovare $tanx$ o viceversa.
Quindi nel caso che mi hai proposto, dovresti sostituire $3$ al posto di $t$.
Ciao
Ok, su questo ora ho capito. Ora un'ultima domanda: quando ho razionalizzato, ho moltiplicato numeratore e denominatore per $1-sqrt2$ , ho moltiplicato e mi viene: $t=-1+sqrt2$ solo che non sono sicuro se ho razionalizzato bene, ho dei dubbi su se dovevo moltiplicare tutto per $1+sqrt2$ invece di $1-sqrt2$ (cosa che ho fatto) . Scusa, se sto approfittando della tua enorme pazienza. Grazie.
Il risultato che ottieni dalla razionalizzazione è giusto.
Avendo
$1/(sqrt2+1)$
moltipichi sopra e sotto per $1-sqrt2$ (andava bene anche $sqrt2-1$ i conti tornavano ugualmente) e ottieni
$-1+sqrt2$
Avendo
$1/(sqrt2+1)$
moltipichi sopra e sotto per $1-sqrt2$ (andava bene anche $sqrt2-1$ i conti tornavano ugualmente) e ottieni
$-1+sqrt2$
Grazie tantissimo +Steven+ . Come sempre sei stato molto gentile e paziente. Scusami se ho "approfittato" della tua enorme pazienza. Ancora Grazie & Ciao.
Figurati, è un piacere.
Buona serata.
Buona serata.
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