Equazione che non riesco a risolvere...
$(3a-x)^6 + 7a^3(3a-x)^3 - 8a^6 = 0$
allora io faccio così:
allora questa è un equazione in cui gli esponenti delle incognite compaiono nella forma $x^(2n) + x^n$
per cui posso aggiungere un'incognita ausiliaria ponendola uguale a $x^n$
ora il problema è che in questa equazione c'è un'altra incognita con lo stesso comportamento della precedente...
io ho provato a farla ma alla fine mi vengono potenze troppo enormi da calcolare...
allora io ho pensato:
risolvo parzialmente con l'incognita ausiliaria l'equazione ad esempio pongo $(3a-x)^n = t$ in modo da risolvere l'equazione di secondo grado:
$t^2 + 7a^3t -8a^6 = 0$ so che il delta è per forza positivo per $a$ perchè l'esponente è pari quindi non mi pongo problemi e risolvo:
$t = (-7 +- 9a^3)/2$
a questo punto siccome so che $t = (3a - x)^3$ → $(3a - x) = root(3)[(-7 +- 9a^3)/2]$ (p.s. anchè il denominatore è sotto radice)
ora che so questo, inserisco quel valore nell'equazione precedente ed ottengo un'equazione irrazionale identica alla prima, solo che così facendo elimino l'incognita $(3a-x)$ e mi rimane un'unica incognita $a$, e questo a me piace...quello che non mi piace è che se vado a risolverla mi vengono passaggi con numeri con potenze altissime, da qui ho capito che forse non ho fatto altro che complicarmi la vita...
qualcuno sa spiegarmi come devo procedere per risolverla?
allora io faccio così:
allora questa è un equazione in cui gli esponenti delle incognite compaiono nella forma $x^(2n) + x^n$
per cui posso aggiungere un'incognita ausiliaria ponendola uguale a $x^n$
ora il problema è che in questa equazione c'è un'altra incognita con lo stesso comportamento della precedente...
io ho provato a farla ma alla fine mi vengono potenze troppo enormi da calcolare...
allora io ho pensato:
risolvo parzialmente con l'incognita ausiliaria l'equazione ad esempio pongo $(3a-x)^n = t$ in modo da risolvere l'equazione di secondo grado:
$t^2 + 7a^3t -8a^6 = 0$ so che il delta è per forza positivo per $a$ perchè l'esponente è pari quindi non mi pongo problemi e risolvo:
$t = (-7 +- 9a^3)/2$
a questo punto siccome so che $t = (3a - x)^3$ → $(3a - x) = root(3)[(-7 +- 9a^3)/2]$ (p.s. anchè il denominatore è sotto radice)
ora che so questo, inserisco quel valore nell'equazione precedente ed ottengo un'equazione irrazionale identica alla prima, solo che così facendo elimino l'incognita $(3a-x)$ e mi rimane un'unica incognita $a$, e questo a me piace...quello che non mi piace è che se vado a risolverla mi vengono passaggi con numeri con potenze altissime, da qui ho capito che forse non ho fatto altro che complicarmi la vita...
qualcuno sa spiegarmi come devo procedere per risolverla?
Risposte
"duepiudueugualecinque":
a questo punto siccome so che $t = (3a - x)^3$ → $(3a - x) = root(3)[(-7 +- 9a^3)/2]$ (p.s. anchè il denominatore è sotto radice)
Ricavi $x$ e hai finito, no?
$x=3a - root(3)[(-7 +- 9a^3)/2]$
l'idea è che tu preferisci avere un'equazione del tipo $y^6 + 7 a?3y^3-8a^6=0$ rispetto a quella di partenza. A questo punto ti consiglio, visto che le basi di tutti gli esponenti che coinvolgono la x sono del tipo $3a-x$, di fare la sostituzione $y = 3a-x$. A questo punto ottieni l'equazione in y, ma se noti bene in realtà è una equazione di secondo grado.
E nessuno si accorge che la soluzione di $t^2 + 7a^3t -8a^6 = 0$ è $t = (-7a^3 +- 9a^3)/2$?
Quindi $t_1=a^3$ e $t_2=-8a^3$.
Quindi $t_1=a^3$ e $t_2=-8a^3$.
"giammaria":
E nessuno si accorge che la soluzione di $t^2 + 7a^3t -8a^6 = 0$ è $t = (-7a^3 +- 9a^3)/2$?
Quindi $t_1=a^3$ e $t_2=-8a^3$.
hai ragione mi sono dimenticato di $a^3$ ed ho messo solo -7 XD
p.s.
uff... no, non va bene lo stesso perchè quando sostituisco mi ritrovo con due equazioni di sesto grado, quando scompongo mi ritrovo con 2 equazioni di questo tipo : $x^2($equazione di terzo grado non scomponibile$)$, e questo non è possibile, perchè quelle di terzo grado non scomponibili non le ho fatte e, l'esercizio quindi non può essere svolto così...però il ragionamento per risolverla a me sembra filare, dove sbaglio?
???
Hai posto $(3a-x)^3=t$, quindi con la soluzione $t_1$ hai $(3a-x)^3=a^3$. Estraggo la radice cubica; poiché 3 è dispari, non metto il $+-$ e ottengo $3a-x=a->x=2a$. Ragionamento analogo con $t_2$.
Hai posto $(3a-x)^3=t$, quindi con la soluzione $t_1$ hai $(3a-x)^3=a^3$. Estraggo la radice cubica; poiché 3 è dispari, non metto il $+-$ e ottengo $3a-x=a->x=2a$. Ragionamento analogo con $t_2$.
"giammaria":
???
Hai posto $(3a-x)^3=t$, quindi con la soluzione $t_1$ hai $(3a-x)^3=a^3$. Estraggo la radice cubica; poiché 3 è dispari, non metto il $+-$ e ottengo $3a-x=a->x=2a$. Ragionamento analogo con $t_2$.
no, non è così semplice, $a$ non è una variabile, ma un'incognita...
"duepiudueugualecinque":
no, non è così semplice, $a$ non è una variabile, ma un'incognita...
e come fai a risolvere un'equazione con due incognite?
$a$ in queste situazioni va sempre considerato un parametro variabile
"Nicole93":
[quote="duepiudueugualecinque"]
no, non è così semplice, $a$ non è una variabile, ma un'incognita...
e come fai a risolvere un'equazione con due incognite?
$a$ in queste situazioni va sempre considerato un parametro variabile[/quote]
riscrivo tutto, correggendo la parte che avevo sbagliato, così è più leggibile:
$(3a-x)^6 + 7a^3(3a-x)^3 - 8a^6 = 0$
allora io faccio così:
allora questa è un equazione in cui gli esponenti delle incognite compaiono nella forma $x^(2n) + x^n$
per cui posso aggiungere un'incognita ausiliaria ponendola uguale a $x^n$
ora il problema è che in questa equazione c'è un'altra incognita con lo stesso comportamento della precedente...
io ho provato a farla ma alla fine mi vengono potenze troppo enormi da calcolare...
allora io ho pensato:
risolvo parzialmente con l'incognita ausiliaria l'equazione ad esempio pongo $(3a-x)^n = t$ in modo da risolvere l'equazione di secondo grado:
$t^2 + 7a^3t -8a^6 = 0$ so che il delta è per forza positivo per $a$ perchè l'esponente è pari quindi non mi pongo problemi e risolvo:
$t = (-7a^3 +- 9a^3)/2$
a questo punto siccome so che $t = (3a - x)^3$ → $(3a - x) = root(3)[(-7a^3 +- 9a^3)/2]$ (p.s. anchè il denominatore è sotto radice)
ora che so questo, inserisco quel valore nell'equazione precedente ed ottengo un'equazione identica alla prima, solo che così facendo elimino l'incognita $(3a-x)$ e mi rimane un'unica incognita $a$, e questo a me piace...quello che non mi piace è che se vado a risolverla mi vengono passaggi con numeri con potenze altissime, da qui ho capito che forse non ho fatto altro che complicarmi la vita...
qualcuno sa spiegarmi come devo procedere per risolverla?
per farla breve...una volta ottenuto i valori di $(3a-x)$ rispetto ad $a$ cioè ($-2a ; a$) sostituisco quei valori nella equazione precedente:
$a^2 +7a^4 - 8a^6 = 0$ → (qui ho sostituito con $a$)
$-2a^2 - 14a^4 - 8a^6$ → (qui ho sostituito con $-2a$)
ora la soluzione delle 2 equazioni dovrebbe darmi i risultati...ma il punto è che scomposte entrambe mi ritrovo con:
$a^2(1+ 7a^2 - 8a^3) = 0$ →(qui ho quella con $a$)
$-2a^2(1+ 7a^2 + 4a^3) = 0$ →(qui ho quella con $-2a$)
le due equazioni di 3° grado non sono scomponibili, quindi ho un problema...
p.s.
scusate mi fate vedere voi a che risultato arrivate con l'altro metodo?...perchè mi stò sforzando per capirvi ma non ci riesco...
Per semplicità, consideriamo solo la prima soluzione. Se non capisco male, tu prendi l'equazione $t^2+7a^3t-8a^6=0$ e metti $a$ al posto di $t$, cioè supponi che sia $t=a$. Però, se guardi quello che è stato scritto, non trovi da nessuna parte quest'ultima formula; trovi invece $t=a^3$. Questa va bene, infatti $(a^3)^2+7a^3*a^3-8a^6=0->0=0$, come doveva essere. Se vuoi verificare la soluzione $x=a$, devi prendere un'equazione in cui compaia $x$, cioè la prima che hai scritto in questo topic: anche lì troverai $0=0$.
Quanto al farti vedere a che risultato arriviamo, con la soluzione $t=a^3$ l'ho già fatto, arrivando ad $x=2a$; con $t=-8a^3$ si ha
$(3a-x)^3=-8a^3->3a-x=-2a->x=5a$
Quanto al farti vedere a che risultato arriviamo, con la soluzione $t=a^3$ l'ho già fatto, arrivando ad $x=2a$; con $t=-8a^3$ si ha
$(3a-x)^3=-8a^3->3a-x=-2a->x=5a$
"giammaria":
Per semplicità, consideriamo solo la prima soluzione. Se non capisco male, tu prendi l'equazione $t^2+7a^3t-8a^6=0$ e metti $a$ al posto di $t$, cioè supponi che sia $t=a$. Però, se guardi quello che è stato scritto, non trovi da nessuna parte quest'ultima formula; trovi invece $t=a^3$. Questa va bene, infatti $(a^3)^2+7a^3*a^3-8a^6=0->0=0$, come doveva essere. Se vuoi verificare la soluzione $x=a$, devi prendere un'equazione in cui compaia $x$, cioè la prima che hai scritto in questo topic: anche lì troverai $0=0$.
Quanto al farti vedere a che risultato arriviamo, con la soluzione $t=a^3$ l'ho già fatto, arrivando ad $x=a$; con $t=-8a^3$ si ha
$(3a-x)^3=-8a^3->3a-x=-2a->x=5a$
ok, il risultato deve essere ($x=5a ; x=2a$)
quindi hai fatto bene...allora avevo cannato l'esponente di $a$...
p.s.
grazie per gli aiuti =)
no, ho un'altro dubbio ( finalmente so farle, ma non ho ancora capito una cosa)
se $a$ è un'incognita...e $x$ è un'altra... perchè il risultato è ($5a ; 2a$)?
ok...quello è il risultato di $x$ e ci stà ma, se so che $a$ non è una variabile e che quindi ha un suo valore unico... si può riuscire a trovare il valore numerico di $a$?
perchè il libro mi da come risultato ($5a ; 2a$) però non è vero che vale per ogni $a$ appartenente a $R$ proprio perchè $a$ non è una variabile...
XD
se $a$ è un'incognita...e $x$ è un'altra... perchè il risultato è ($5a ; 2a$)?
ok...quello è il risultato di $x$ e ci stà ma, se so che $a$ non è una variabile e che quindi ha un suo valore unico... si può riuscire a trovare il valore numerico di $a$?
perchè il libro mi da come risultato ($5a ; 2a$) però non è vero che vale per ogni $a$ appartenente a $R$ proprio perchè $a$ non è una variabile...
XD
Come ti ha già detto Nicole93, $a$ non è un'incognita ma una variabile: perchè sei così sicuro del contrario? Il risultato trovato dice questo: qualunque valore abbia $a$, l'equazione è verificata se $x=2a$ o se $x=5a$; dall'equazione data NON si può riuscire a trovare anche il valore numerico di $a$. La regola (con qualche eccezione, ma solo in casi strani) è questa: da un'unica equazione si può ricavare un'unica incognita; da un sistema di due equazioni si possono ricavare due incognite, eccetera; in generale, ci devono essere tante equazioni quante incognite.
"giammaria":
Come ti ha già detto Nicole93, $a$ non è un'incognita ma una variabile: perchè sei così sicuro del contrario? Il risultato trovato dice questo: qualunque valore abbia $a$, l'equazione è verificata se $x=2a$ o se $x=5a$; dall'equazione data NON si può riuscire a trovare anche il valore numerico di $a$. La regola (con qualche eccezione, ma solo in casi strani) è questa: da un'unica equazione si può ricavare un'unica incognita; da un sistema di due equazioni si possono ricavare due incognite, eccetera; in generale, ci devono essere tante equazioni quante incognite.
ok, grazie...sopratutto per la regola perchè non lo sapevo... =)
Scusami, gianmaria, ma dalle mie parti variabile=incognita, probabilmente volevi dire parametro o costante.
"@melia":
Scusami, gianmaria, ma dalle mie parti variabile=incognita, probabilmente volevi dire parametro o costante.
ecco questo non lo sapevo...ad esempio io fino a due minuti fa credevo:
variabile = parametro
incognita = costante
anche se ora mi accorgo che è più logico dire che l'incognità può essere sia un parametro(cioè variabile) che una costante XD
Grazie della precisazione; duepiùdueugualecinque avevo usato questa parola e l'ho imitato senza riflettere. A mia ulteriore discolpa, aggiungo che in analisi "variabile" non significa incognita.
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