Equazione binomia es.32
Questa è una equazione che ha il risultato impossibile:
$ 1/x^2=(2x^2)/(x^4-1) $
Io cerco di risolverla in questo modo:
$ (x^4-1)/(x^2(x^4-1))=(2x^2(x^2))/(x^2(x^4-1)) $
$ x^4-1=2x^2(x^2) $
Quindi
$ x^4-2x^4=1 $
$ -x^4=1 $
$ x^4=-1 $
Quindi è impossibile! Giusto?
$ 1/x^2=(2x^2)/(x^4-1) $
Io cerco di risolverla in questo modo:
$ (x^4-1)/(x^2(x^4-1))=(2x^2(x^2))/(x^2(x^4-1)) $
$ x^4-1=2x^2(x^2) $
Quindi
$ x^4-2x^4=1 $
$ -x^4=1 $
$ x^4=-1 $
Quindi è impossibile! Giusto?
Risposte
Mentre questa non sto riuscendo a capire il perchè è impossibile, anche se ho fatto la verifica del segno:
$ -(3x^3)/(x+2)=(24)/(x+2) $
Scusate ma se io faccio così:
Legge di annullamento del prodotto:
$ -(3x^3)=(24) $
$ -x^3=24/3 $
$ -x^3=8 $
$ x=-root(3)(8) $
$ x=-2 $
Perchè è impossibile?
Provo a fare la verifica del segno:
$ (-2)^3=(-1)^3(2)^3=-2^3 $
Perchè mi dice che è impossibile?
$ -(3x^3)/(x+2)=(24)/(x+2) $
Scusate ma se io faccio così:
Legge di annullamento del prodotto:
$ -(3x^3)=(24) $
$ -x^3=24/3 $
$ -x^3=8 $
$ x=-root(3)(8) $
$ x=-2 $
Perchè è impossibile?
Provo a fare la verifica del segno:
$ (-2)^3=(-1)^3(2)^3=-2^3 $
Perchè mi dice che è impossibile?
Siamo alle solite, ahah. Stai dimenticando un particolare molto importante! C'è forse qualche controllo che devi fare quando hai equazioni fratte?
"JoJo_90":
Siamo alle solite, ahah. Stai dimenticando un particolare molto importante! C'è forse qualche controllo che devi fare quando hai equazioni fratte?
Un attimo che forse sto ricordando.....
Devo imporre la condizione:
$ x+2=0 $
Deve essere
$ x+2 != 0 $
Segue
$ x != -2 $
Essendo un valore negativo, risulta impossibile in $ R $ , correggimi se sbaglio.
Stava andando bene fino all'ultima frase. Perchè devi imporre che $x+2!=0$ e quindi di conseguenza che deve essere $x!=-2$? (è giusto quel che hai fatto ma mi interessa capire se hai capito perchè bisogna farlo).
Adesso risolvo la seguente e cercherò di seguire le regole delle equazioni fratte:
$ x+(4)/(x+2)=19/(x^2-4) $
Imposto le condizioni:
$ x+2 != 0 $ quindi $ x != -2 $
Altra condizione:
$ x^2-4 != 0 $
$ x^2!= 4 $
$ x!=2 $
Giusto fin quì?
$ x+(4)/(x+2)=19/(x^2-4) $
Imposto le condizioni:
$ x+2 != 0 $ quindi $ x != -2 $
Altra condizione:
$ x^2-4 != 0 $
$ x^2!= 4 $
$ x!=2 $
Giusto fin quì?
"JoJo_90":
Stava andando bene fino all'ultima frase. Perchè devi imporre che $x+2!=0$ e quindi di conseguenza che deve essere $x!=-2$? (è giusto quel che hai fatto ma mi interessa capire se hai capito perchè bisogna farlo).
Ti ringrazio del fatto che mi stai facendo ragionare
, adesso provo a risponderti correttamente... Devo imporre la condizione che $x+2!=0$ e quindi $x!=-2$ perchè se la $x=-2$ questo farebbe diventare il denominatore $ =0 $ annullando la frazione!
Si, esatto!!! 
.
Ok direi che su questo ormai ci siamo. Quindi ricorda sempre che quando hai a che fare con equazioni fratte devi imporre sempre le condizioni di esistenza del denominatore, le quali ti dicono quali valori dell'incognita non puoi accettare (causa annullamento del denominatore della frazione).
Poi, nel caso di equazioni che conducono a risultati del tipo $x= root (n) (a)$ con $n$ pari e $a<0$ (e.g. $root (2)(-4)$) devi concludere come già sai fare ovvero che l'equazione non ha soluzioni nei reali e quindi è impossibile (nei reali).
Fai quindi attenzione alle "cause di impossibilità" di una equazione (annullamento del denominatore nel caso di equazioni fratte ed estrazione di radice con indice pari di un numero negativo).
Una nota: Hai scritto che
Mi permetto di correggere la parte in rosso e ti dico che se il denominatore è nullo la frazione non si annulla (come hai scritto), ma perde di significato. Una frazione infatti si annulla (ovvero è pari a $0$) quando il numeratore è nullo.
So che sembrano pignolerie, ma ho letto che volevi acquisire un linguaggio matematico appropriato e credo che l'osservazione che ti ho fatto vada in questo senso.
Ciao.
.Ok direi che su questo ormai ci siamo. Quindi ricorda sempre che quando hai a che fare con equazioni fratte devi imporre sempre le condizioni di esistenza del denominatore, le quali ti dicono quali valori dell'incognita non puoi accettare (causa annullamento del denominatore della frazione).
Poi, nel caso di equazioni che conducono a risultati del tipo $x= root (n) (a)$ con $n$ pari e $a<0$ (e.g. $root (2)(-4)$) devi concludere come già sai fare ovvero che l'equazione non ha soluzioni nei reali e quindi è impossibile (nei reali).
Fai quindi attenzione alle "cause di impossibilità" di una equazione (annullamento del denominatore nel caso di equazioni fratte ed estrazione di radice con indice pari di un numero negativo).
Una nota: Hai scritto che
"Bad90":
Devo imporre la condizione che $x+2!=0$ e quindi $x!=-2$ perchè se la $x=-2$ questo farebbe diventare il denominatore $ =0 $ annullando la frazione!
Mi permetto di correggere la parte in rosso e ti dico che se il denominatore è nullo la frazione non si annulla (come hai scritto), ma perde di significato. Una frazione infatti si annulla (ovvero è pari a $0$) quando il numeratore è nullo.
So che sembrano pignolerie, ma ho letto che volevi acquisire un linguaggio matematico appropriato e credo che l'osservazione che ti ho fatto vada in questo senso.
Ciao.
Grazie amico mio 
Si, voglio acquisire un linguaggio matematico, e quindi mi fanno bene tutte queste dritte
Si, voglio acquisire un linguaggio matematico, e quindi mi fanno bene tutte queste dritte
Prego (non so se hai letto la parte che ho aggiunto al mio post perchè avevi già risposto).
Continuo a risolvere l'equazione del messaggio precedente:
$ x+(4)/(x+2)=19/(x^2-4) $
Imposto le condizioni:
$ x+2 != 0 $ quindi $ x != -2 $
Altra condizione:
$ x^2-4 != 0 $
$ x^2!= 4 $
$ x!=2 $
Segue:
$ (x(x+2)(x^2-4)+4)/((x+2)(x^2-4))=(19(x+2))/((x+2)(x^2-4)) $
$ x(x+2)(x^2-4)+4=19(x+2) $
$ x(x^3-4x+2x^2-8)+4=19x+38 $
$ x^4-4x^2+2x^3-8x+4=19x+38 $
$ x^4+2x^3-4x^2-27x-24=0 $
$ x+(4)/(x+2)=19/(x^2-4) $
Imposto le condizioni:
$ x+2 != 0 $ quindi $ x != -2 $
Altra condizione:
$ x^2-4 != 0 $
$ x^2!= 4 $
$ x!=2 $
Segue:
$ (x(x+2)(x^2-4)+4)/((x+2)(x^2-4))=(19(x+2))/((x+2)(x^2-4)) $
$ x(x+2)(x^2-4)+4=19(x+2) $
$ x(x^3-4x+2x^2-8)+4=19x+38 $
$ x^4-4x^2+2x^3-8x+4=19x+38 $
$ x^4+2x^3-4x^2-27x-24=0 $
"JoJo_90":
Prego (non so se hai letto la parte che ho aggiunto al mio post perchè avevi già risposto).
Si infatti dopo aver letto la parte che hai aggiunto, ho modificato anche il mio messaggio!
Una correzione sulle condizioni di esistenza che ti è stata fatta notare più volte. Da $x^2 != 4$ segue che $x!=\pm 2$; mai dimenticare in questi casi il $\pm$ in quanto metterlo è molto importante (e credo tu ormai sappia anche il perchè).
Poi mi sembra ci sia un errore qui
Il $4$ dovrebbe moltiplicare $(x^2 - 4)$ se non erro.
Poi mi sembra ci sia un errore qui
"Bad90":
Segue:
$ (x(x+2)(x^2-4)+4)/((x+2)(x^2-4))=(19(x+2))/((x+2)(x^2-4)) $
Il $4$ dovrebbe moltiplicare $(x^2 - 4)$ se non erro.
"JoJo_90":
Una correzione sulle condizioni di esistenza che ti è stata fatta notare più volte. Da $x^2 != 4$ segue che $x!=\pm 2$; mai dimenticare in questi casi il $\pm$ in quanto metterlo è molto importante (e credo tu ormai sappia anche il perchè).
Poi mi sembra ci sia un errore qui
[quote="Bad90"]
Segue:
$ (x(x+2)(x^2-4)+4)/((x+2)(x^2-4))=(19(x+2))/((x+2)(x^2-4)) $
Il $4$ dovrebbe moltiplicare $(x^2 - 4)$ se non erro.[/quote]
Ok per il $ x != +-2 $
Si ho sbagliato a non moltiplicare il $ 4 $
Adesso correggo e vado avanti!
Quindi:
$ x^4-4x^2+2x^3-8x+4x^2-16=19x+38 $
$ x^4+2x^3-27x-54=0 $
Adesso penso mi conviene fare così:
$ x^3(x+2)-27(x-2)=0 $
Avendo imposto le condizioni iniziali $ x != +-2 $ deduco che l'unica soluzione possibile è $ x^3=27 $ segue $ x=3 $
Giusto?
Si, solo che c'è un errore di segno (credo di battitura) nella parentesi che moltiplica il $-27$; infatti dovrebbe essere $(x+2)$ e non $(x-2)$.
Ho risolto questa:
$ (4)/(x^3+1)-(4x^3+3)/(x^6-1)=8 $
Imposto le condizioni:
$ x^3+1 != 0 $ segue $ x^3!=-1 $ , $ x!=-1 $
$ x^6-1 != 0 $ , $ x^6!=1 $ , $ x!=1 $
Senza scrivere tutti i passaggi, perchè penso che siano corretti, arrivo direttamente alla conclusione:
$ 8x^6(x^3+1)-1(x^3+1)=0 $
Unica soluzione possibile:
$ 8x^6-1=0 $
$ x^6=1/8 $
$ x=1/root(6)(2^3) $
Semplifico la radice del denominatore:
$ x=1/sqrt(2) $
Razionalizzo
$ x=1/sqrt(2)*sqrt(2)/sqrt(2) $
$ x=sqrt(2)/2 $
Il risultato del libro coincide e non penso sia una casualità, ma chiedo gentilmente conferma a voi di questi ultimi passaggi!
Grazie anticipatamente "amici" !
$ (4)/(x^3+1)-(4x^3+3)/(x^6-1)=8 $
Imposto le condizioni:
$ x^3+1 != 0 $ segue $ x^3!=-1 $ , $ x!=-1 $
$ x^6-1 != 0 $ , $ x^6!=1 $ , $ x!=1 $
Senza scrivere tutti i passaggi, perchè penso che siano corretti, arrivo direttamente alla conclusione:
$ 8x^6(x^3+1)-1(x^3+1)=0 $
Unica soluzione possibile:
$ 8x^6-1=0 $
$ x^6=1/8 $
$ x=1/root(6)(2^3) $
Semplifico la radice del denominatore:
$ x=1/sqrt(2) $
Razionalizzo
$ x=1/sqrt(2)*sqrt(2)/sqrt(2) $
$ x=sqrt(2)/2 $
Il risultato del libro coincide e non penso sia una casualità, ma chiedo gentilmente conferma a voi di questi ultimi passaggi!
Grazie anticipatamente "amici"
!
"JoJo_90":
Si, solo che c'è un errore di segno (credo di battitura) nella parentesi che moltiplica il $-27$; infatti dovrebbe essere $(x+2)$ e non $(x-2)$.
Si è la fretta nello scrivere,
Comincio a pensare che hai un rifiuto per il $\pm$ 
. Dove avresti dovuto metterlo? (scusami se te lo ripeto sempre, non vorrei sembrarti pedante o maestrino).
Fai bene a non fidarti sempre e comunque del libro, ma la verifica se vuoi la puoi fare tu stesso; basta che sostituisci il risultato ottenuto nell'equazione di partenza. Se viene fuori che primo membro e secondo membro sono uguali oppure (che è lo stesso) se porti tutto a primo membro e ti viene zero allora la soluzione è giusta e di conseguenza lo dovrebbero essere pure i passaggi che ti hanno portato ad ottenerla.
. Dove avresti dovuto metterlo? (scusami se te lo ripeto sempre, non vorrei sembrarti pedante o maestrino)."Bad90":
Il risultato del libro coincide e non penso sia una casualità, ma chiedo gentilmente conferma a voi di questi ultimi passaggi!
Fai bene a non fidarti sempre e comunque del libro, ma la verifica se vuoi la puoi fare tu stesso; basta che sostituisci il risultato ottenuto nell'equazione di partenza. Se viene fuori che primo membro e secondo membro sono uguali oppure (che è lo stesso) se porti tutto a primo membro e ti viene zero allora la soluzione è giusta e di conseguenza lo dovrebbero essere pure i passaggi che ti hanno portato ad ottenerla.
"JoJo_90":
Comincio a pensare che hai un rifiuto per il $\pm$
Hai ragione, avrei dovuto metterlo quì:
$ x^6 != 1 $
$ x != +-1 $
Giusto?
Ok, giusto.
"JoJo_90":
Ok, giusto.
Dimmi sempre quando sbaglio, altrimenti devo cercare uno spigolo più duro in casa e
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
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