Equazione algebrica di terzo grado
Salve ragazzi, mi sono imbattuto in questo problema: ho l'equazione algebrica di terzo grado $ x^3+20x^2+2kx+10k =0$, in cui $k$ è un parametro reale. Il problema consiste nel determinare il valore di $k$ tale che le radici dell'equazione abbiano la parte reale minore di $-5$. Avevo pensato di fissare una radice reale e due complesse e coniugate, ma arrivo sempre al punto in cui non riesco a determinare in modo univoco $k$.
Mi potete dare consigli su come procedere? Grazie
Mi potete dare consigli su come procedere? Grazie
Risposte
Tentare la forza bruta in onore di Tartaglia e Cardano e provare con la loro formula risolutiva?
E' poco nota al pubblico ma è un risultato storico di enorme valore per l'Italia in primis... e funziona!
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... risolutivo
è solo un consiglio, il problema è effettivamente interessante
Spero qualcuno sia in grado di dare una soluzione più intelligente della mia... e spero anche sia permesso dalle regole del forum citare wikipedia... mi scuso se così non fosse!!
E' poco nota al pubblico ma è un risultato storico di enorme valore per l'Italia in primis... e funziona!
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... risolutivo
è solo un consiglio, il problema è effettivamente interessante
Spero qualcuno sia in grado di dare una soluzione più intelligente della mia... e spero anche sia permesso dalle regole del forum citare wikipedia... mi scuso se così non fosse!!
Mi viene in mente un altro modo
Attaccabile, non troppo furbo... ma proviamo a vedere che succede
raccolgo e ottengo
$x^3+20x^2+2kx+10k=0$
$ x^2 (x+20) = -2k (x+5) $
ora provo a dividere membro-membro per (x+5),.... penso di poterlo fare perchè tu devi vedere dove x<-5 quindi teoricamente x=-5 è fuori dal tuo dominio ... per cui sono abbastanza sicuro che (x+5) sia diverso da zero... ma qui lo so sono attaccabile!!! non è per nulla elegante!! comunque ottengo
$k= - (x^2(x+20))/(2x+10) $
funzione che puoi studiare e trovi i valori di k per i quali x è minore di -5
mah... non sono convinto... sia perchè così non valuti RE(x) ma x in quanto appartenente al campo dei numeri reali R e non a C... sia per quella divisione assassina...
Attaccabile, non troppo furbo... ma proviamo a vedere che succede
raccolgo e ottengo
$x^3+20x^2+2kx+10k=0$
$ x^2 (x+20) = -2k (x+5) $
ora provo a dividere membro-membro per (x+5),.... penso di poterlo fare perchè tu devi vedere dove x<-5 quindi teoricamente x=-5 è fuori dal tuo dominio ... per cui sono abbastanza sicuro che (x+5) sia diverso da zero... ma qui lo so sono attaccabile!!! non è per nulla elegante!! comunque ottengo
$k= - (x^2(x+20))/(2x+10) $
funzione che puoi studiare e trovi i valori di k per i quali x è minore di -5
mah... non sono convinto... sia perchè così non valuti RE(x) ma x in quanto appartenente al campo dei numeri reali R e non a C... sia per quella divisione assassina...
Boh ci proverò...magari verrà fuori qualcosa. Grazie 
Penso di esserci riuscito. Ho impostato la seguente equazione $s^3+20s^2+2ks+10k=(s+a)(s+a+jb)(s+a-jb)$ e mi sono trovato a risolvere il seguente problema:
$ { ( 3a=20 ),( a^2+b^2+2a^2=2k ),( a^3+ab^2=10k ):} rArr { ( a~=6.66 ),( k~=177.4 ),( b~=14.9 ):} $
che soddisfa la mia specifica.
Quello che noto, però, è che non posso fissare in modo arbitrario il valore della radice reale, ma essa dipende dal termine quadratico dell'equazione di partenza...qualche spiegazione a riguardo?
$ { ( 3a=20 ),( a^2+b^2+2a^2=2k ),( a^3+ab^2=10k ):} rArr { ( a~=6.66 ),( k~=177.4 ),( b~=14.9 ):} $
che soddisfa la mia specifica.
Quello che noto, però, è che non posso fissare in modo arbitrario il valore della radice reale, ma essa dipende dal termine quadratico dell'equazione di partenza...qualche spiegazione a riguardo?
"D4lF4zZI0":
Penso di esserci riuscito. Ho impostato la seguente equazione $ s^3+20s^2+2ks+10k=(s+a)(s+a+jb)(s+a-jb) $ e mi sono trovato a risolvere il seguente problema:
$ { ( 3a=20 ),( a^2+b^2+2a^2=2k ),( a^3+ab^2=10k ):} rArr { ( a~=6.66 ),( k~=177.4 ),( b~=14.9 ):} $
che soddisfa la mia specifica.
Quello che noto, però, è che non posso fissare in modo arbitrario il valore della radice reale, ma essa dipende dal termine quadratico dell'equazione di partenza...qualche spiegazione a riguardo?
L'idea è buona, ma c'è qualcosa che non mi convince.
Perchè indichi la radice reale e la parte reale delle radici complesse allo stesso modo? Io scomporrei così:
$(x-h)(x-a-ib)(x-a+ib)$ e nel sistema aggiungerei la condizione $a<-5$.
Risovere il sistema trovando k in funzione di h non è complesso, trovarlo numericamente sì.
Altro metodo
Impongo $x=h$ soluzione reale ed abbasso di grado con la regola di Ruffini.
Nella equazione di 2° grado, in cui avrò sostituito $k=-(h^3+20h^2)/(2h+10)$ impongo il discriminante $<0$ e la parete reale delle soluzioni $<-5$
Così facendo io ho trovato $-10
Spero di non aver sbagliato i calcoli.
P.S. Ho provato ponendo come soluzione reale $h=-6$ ed ho trovato sia $k$ che $a$ che soddisfano le condizioni.
Ah ok grazie...ora mi rifaccio tutti i calcoli come mi hai consigliato tu. Grazie ancora
In ogni caso, avevo indicato radice reale e parte reale delle radici complesse allo stesso modo solo per semplificare i calcoli e fare prima
In ogni caso, avevo indicato radice reale e parte reale delle radici complesse allo stesso modo solo per semplificare i calcoli e fare prima
Scusa, igiul, ma come hai fatto a risolvere la $Delta<0$? Posto $h=5r$ io arrivo a
$(r+4)(r^3+2r^2+5r+4)<0$
che non riesco a scomporre ulteriormente.
Aggiungo la mia soluzione.
Per evitare fastidiosi multipli di 5 ho inizialmente posto $x=5z$ e $k=25h$; l'equazione diventa
$z^3+4z^2+2hz+2h=0$
e si vuole che la parte reale delle soluzioni sia minore di $-1$.
Ho poi iniziato come Mazzarri, ricavando $h$, ed ho studiato rapidamente la curva ottenuta, cioè
$y=1/2(-z^3-4z^2)/(z+1)$
Intersecandola con la $y=h$ trovo che per $h<=0$ ci sono tre soluzioni reali, due delle quali sono però maggiori di $-1$: da scartare (l'avrei accettata se avessi avuto tre soluzioni reali, tutte minori di $-1$). Invece per $h>0$ l'unica soluzione reale è minore di $-1$: è il nostro caso.
Indicando le soluzioni dell'equazione con $z_1=-a; z_(2,3)=-(u+-iv)$ la richiesta è $u>1$ e l'equazione è
$(z+a)(z+u+iv)(z+u-iv)=0$
$(z+a)[z^2+2uz+(u^2+v^2)]=0$
$z^3+(2u+a)z^2+[(u^2+v^2)+2au]z+a(u^2+v^2)=0$
e coincide con quella data se
${(2u+a=4),((u^2+v^2)+2au=2h),(a(u^2+v^2)=2h):}->{(a=2(2-u)),(u^2+v^2=h/(2-u)),(4u(2-u)^2=h(3-2u)):}$
Ho disegnato il grafico di
$y=(4u(2-u)^2)/(3-2u)$
e l'ho intersecato con la $y=h$; l'intersezione con $h>0$ e $u>1$ si ha per $h>4$ e $1
Resta da dimostrare che in corrispondenza si ha un valore reale per $v$. Essendo $1/2<2-u<1$ e $h>4$ si ha
$u^2+v^2=h/(2-u)>4/1=4$
e quindi
$v^2=h/(2-u)-u^2>4-u^2>4-9/4>0$
che dimostra la tesi.
Tornando alle variabili iniziali, la mia risposta è quindi: deve essere $k>100$ e la parte reale delle soluzioni complesse è compresa fra $-15/2$ e $-5$; la soluzione reale è minore di $-5$.
$(r+4)(r^3+2r^2+5r+4)<0$
che non riesco a scomporre ulteriormente.
Aggiungo la mia soluzione.
Per evitare fastidiosi multipli di 5 ho inizialmente posto $x=5z$ e $k=25h$; l'equazione diventa
$z^3+4z^2+2hz+2h=0$
e si vuole che la parte reale delle soluzioni sia minore di $-1$.
Ho poi iniziato come Mazzarri, ricavando $h$, ed ho studiato rapidamente la curva ottenuta, cioè
$y=1/2(-z^3-4z^2)/(z+1)$
Intersecandola con la $y=h$ trovo che per $h<=0$ ci sono tre soluzioni reali, due delle quali sono però maggiori di $-1$: da scartare (l'avrei accettata se avessi avuto tre soluzioni reali, tutte minori di $-1$). Invece per $h>0$ l'unica soluzione reale è minore di $-1$: è il nostro caso.
Indicando le soluzioni dell'equazione con $z_1=-a; z_(2,3)=-(u+-iv)$ la richiesta è $u>1$ e l'equazione è
$(z+a)(z+u+iv)(z+u-iv)=0$
$(z+a)[z^2+2uz+(u^2+v^2)]=0$
$z^3+(2u+a)z^2+[(u^2+v^2)+2au]z+a(u^2+v^2)=0$
e coincide con quella data se
${(2u+a=4),((u^2+v^2)+2au=2h),(a(u^2+v^2)=2h):}->{(a=2(2-u)),(u^2+v^2=h/(2-u)),(4u(2-u)^2=h(3-2u)):}$
Ho disegnato il grafico di
$y=(4u(2-u)^2)/(3-2u)$
e l'ho intersecato con la $y=h$; l'intersezione con $h>0$ e $u>1$ si ha per $h>4$ e $1
Resta da dimostrare che in corrispondenza si ha un valore reale per $v$. Essendo $1/2<2-u<1$ e $h>4$ si ha
$u^2+v^2=h/(2-u)>4/1=4$
e quindi
$v^2=h/(2-u)-u^2>4-u^2>4-9/4>0$
che dimostra la tesi.
Tornando alle variabili iniziali, la mia risposta è quindi: deve essere $k>100$ e la parte reale delle soluzioni complesse è compresa fra $-15/2$ e $-5$; la soluzione reale è minore di $-5$.
"giammaria":
Scusa, igiul, ma come hai fatto a risolvere la $Delta<0$? Posto $h=5r$ io arrivo a
$(r+4)(r^3+2r^2+5r+4)<0$
che non riesco a scomporre ulteriormente.
Ciao,
non ho letto tutto il thread ma quel prodotto è ancora scomponibile. In particolare
\[r^3+2r^2+5r+4 = \left( r+1\right) \,\left( {r}^{2}+r+4\right) \]
Che deficiente sono! E ci avevo anche pensato, ma evidentemente sbagliavo qualche somma.
"giammaria":
Scusa, igiul, ma come hai fatto a risolvere la $ Delta<0 $?
Io ho proceduto in questo modo:
1) ho imposto $x=h$ soluzione reale ed ho ricavato $k=-(h^3+20h^2)/(2(h+5))$
2) ho abbassato di grado con la regola di Ruffini ed ottenuto la seguente equazione di 2° grado:
$(h+5)x^2+(h+5)(h+20)x+5h(h+20)=0$
3) in questa ho imposto $ Delta<0 $ e parte reale delle soluzioni $<-5$, ottenendo il sistema:
${((h+5)(h+20)[(h+5)(h+20)-20h]<0),(-[(h+5)(h+20)]/[2(h+5)]<-5):}$
da cui ${(-20
di conseguenza $-10
4) a questo punto ho determinato k. Non sapendo il livello di studi e di conoscenze di chi ha proposto il quesito non ho indicato come ho fatto a trovarlo.
Si può comunque osservare, tenendo presente Num., Den., segno della frazione ed intervallo di variabilità di $h$, che in detto intervallo $k$ è positivo e crescente. Poi $k(-10)=100$ , $k(-5)=oo"$ di conseguenza $k>100$.
Grazie. Avevo posto la domanda perché non vedevo il fattore $r+1$, corrispondente al tuo $h+5$; ora che minomic l'ha indicato non ci sono altre difficoltà.
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