Equazione
Perdonate, ma non riesco a trovare l'equazione della retta tale che l'iperbole $16x^2-9y^2=144$ intercetti su di essa la corda MN avente $P(5; -4)$ come punto medio. Vorrei un piccolo aiuto.
Risposte
Purtroppo se uno mette subito a sistema l'iperbole con il fascio di rette vengono fuori delle equazioni antipatiche e scomode di 4^ grado con radicali.
Quindi bisogna giocare d'astuzia con delle trasformazioni delle coordinate.
Il percorso per evitare le equazioni di 4^ grado sara' lungo, ma pero' sono tutti calcoli semplici. Iniziamo.
Prendiamo
$ 16x^2-9y^2=144 $
ovvero
$ (4x)^2-(3y)^2=144 $
e applichiamo la prima trasformazione
${: (x_1 = 4x), (y_1 = 3y) :} $
e otteniamo
$ x_1^2-y_1^2=144 $
ovvero
$ (x_1-y_1) (x_1+y_1)=144 $
Quindi applichiamo la seconda trasformazione
${: (x_2 = x_1-y_1), (y_2 = x_1+y_1) :} $
e otteniamo
$x_2y_2=144$.
Ora possiamo prendere il generico fascio di rette che passa per il punto $(a,b)$,
cioe'
$y_2 = m(x_2-a)+b$
e lo mettiamo a sistema con l'iperbole, e otteniamo un polinomio in $x_2$
$x_2(m(x_2-a)+b)=144$.
Riordiniamo il polinomio
$(x_2)^2m + x_2 (-ma+b) - 144= 0$.
Troviamo le due soluzioni con consueta formula risolutiva per le equazioni di secondo grado senza esplicitare il determinante.
$(-b \pm \sqrt(\Delta))/(2a)$
Quindi i due valori trovati per $x_2$ saranno
$x_{2, 1-2} = (-b \pm \sqrt(\Delta))/(2a)$
cioe'
$x_{2, 1-2} = (-(-ma+b) \pm \sqrt(\Delta))/(2m)$
Troviamo il punto medio dei due valori trovati ovvero $(x_{2, 1} + x_{2, 2})/2$ che devono essere uguali all'ascissa del punto $(a,b)$, ovvero
$(x_{2, 1} + x_{2, 2})/2 = a$
Quindi sostituiamo nella formula sopra i due valori che escono dalla formula risolutiva della eq. 2^ grado.
$(-(-ma+b) + \sqrt(\Delta))/(2m) + (-(-ma+b) - \sqrt(\Delta))/(2m) = 2a$
che si semplifica in modo molto soddisfacente in
$(ma-b) = 2am$
e ancora
$m = -b/a$.
E finalmente abbiamo il coefficiente angolare $m$ della retta che cerchiamo.
Attenzione pero' che abbiamo trasformato le coordinate, quindi dobbiamo tornare alle coordinate originali.
Allora scriviamo l'equazione della retta (che passa per l'origine, della traslazione ce ne occupiamo alla fine in modo da non intasare le formule)
$y_2 = m x_2$
Ricordando la seconda trasformazione $y_2 = m x_2$ diventa
$(x_1+y_1) = m (x_1-y_1)$
e ricordando la prima trasformazione
$(4x+3y) = m (4x-3y)$
ovvero
$y = 4/3 (m-1)/(m+1) x$
Sostituiamo $m= -b/a$ e otteniamo
$y = 4/3 (b+a)/(b-a) x$.
A questo punto rimane da esplicitare $a, b$ e da impostare la retta in modo che passi per il punto $P$
Il punto $P$ e'
$P = {( x = 5 ),( y = -4 ) :}$
Applicando le trasformazioni
${( x_1 = 20 ),( y_1 = -12 ) :}$
${( x_2 = 32 = a ),( y_1 = 8 = b ) :}$
Abbiamo i valori di $a$ e $b$ e li sostituiamo nella retta.
$y = 4/3 (8+32)/(8-32) x$.
$y = - 20 / 9 x$
Manca l'ultimo pezzettino, ovvero far passare la retta per $P$
$y = - 20 / 9 (x-x_P)+y _P $
$y = - 20 / 9 (x-5)-4$
in forma canonica
$9y + 20 x - 64 = 0$
e abbiamo concluso.
A conferma del risultato, metto un'immagine con l'iperbole, $P$ e la retta.
La circonferenza serve per vedere graficamente che $P$ e' il punto medio tra i due punti $M,N$ di intersezione.
Quindi bisogna giocare d'astuzia con delle trasformazioni delle coordinate.
Il percorso per evitare le equazioni di 4^ grado sara' lungo, ma pero' sono tutti calcoli semplici. Iniziamo.
Prendiamo
$ 16x^2-9y^2=144 $
ovvero
$ (4x)^2-(3y)^2=144 $
e applichiamo la prima trasformazione
${: (x_1 = 4x), (y_1 = 3y) :} $
e otteniamo
$ x_1^2-y_1^2=144 $
ovvero
$ (x_1-y_1) (x_1+y_1)=144 $
Quindi applichiamo la seconda trasformazione
${: (x_2 = x_1-y_1), (y_2 = x_1+y_1) :} $
e otteniamo
$x_2y_2=144$.
Ora possiamo prendere il generico fascio di rette che passa per il punto $(a,b)$,
cioe'
$y_2 = m(x_2-a)+b$
e lo mettiamo a sistema con l'iperbole, e otteniamo un polinomio in $x_2$
$x_2(m(x_2-a)+b)=144$.
Riordiniamo il polinomio
$(x_2)^2m + x_2 (-ma+b) - 144= 0$.
Troviamo le due soluzioni con consueta formula risolutiva per le equazioni di secondo grado senza esplicitare il determinante.
$(-b \pm \sqrt(\Delta))/(2a)$
Quindi i due valori trovati per $x_2$ saranno
$x_{2, 1-2} = (-b \pm \sqrt(\Delta))/(2a)$
cioe'
$x_{2, 1-2} = (-(-ma+b) \pm \sqrt(\Delta))/(2m)$
Troviamo il punto medio dei due valori trovati ovvero $(x_{2, 1} + x_{2, 2})/2$ che devono essere uguali all'ascissa del punto $(a,b)$, ovvero
$(x_{2, 1} + x_{2, 2})/2 = a$
Quindi sostituiamo nella formula sopra i due valori che escono dalla formula risolutiva della eq. 2^ grado.
$(-(-ma+b) + \sqrt(\Delta))/(2m) + (-(-ma+b) - \sqrt(\Delta))/(2m) = 2a$
che si semplifica in modo molto soddisfacente in
$(ma-b) = 2am$
e ancora
$m = -b/a$.
E finalmente abbiamo il coefficiente angolare $m$ della retta che cerchiamo.
Attenzione pero' che abbiamo trasformato le coordinate, quindi dobbiamo tornare alle coordinate originali.
Allora scriviamo l'equazione della retta (che passa per l'origine, della traslazione ce ne occupiamo alla fine in modo da non intasare le formule)
$y_2 = m x_2$
Ricordando la seconda trasformazione $y_2 = m x_2$ diventa
$(x_1+y_1) = m (x_1-y_1)$
e ricordando la prima trasformazione
$(4x+3y) = m (4x-3y)$
ovvero
$y = 4/3 (m-1)/(m+1) x$
Sostituiamo $m= -b/a$ e otteniamo
$y = 4/3 (b+a)/(b-a) x$.
A questo punto rimane da esplicitare $a, b$ e da impostare la retta in modo che passi per il punto $P$
Il punto $P$ e'
$P = {( x = 5 ),( y = -4 ) :}$
Applicando le trasformazioni
${( x_1 = 20 ),( y_1 = -12 ) :}$
${( x_2 = 32 = a ),( y_1 = 8 = b ) :}$
Abbiamo i valori di $a$ e $b$ e li sostituiamo nella retta.
$y = 4/3 (8+32)/(8-32) x$.
$y = - 20 / 9 x$
Manca l'ultimo pezzettino, ovvero far passare la retta per $P$
$y = - 20 / 9 (x-x_P)+y _P $
$y = - 20 / 9 (x-5)-4$
in forma canonica
$9y + 20 x - 64 = 0$
e abbiamo concluso.
A conferma del risultato, metto un'immagine con l'iperbole, $P$ e la retta.
La circonferenza serve per vedere graficamente che $P$ e' il punto medio tra i due punti $M,N$ di intersezione.
Grazie di cuore.
Complimenti a Quinzio per l'ingegnosità della soluzione; ne propongo un'altra che mi sembra più spontanea. Non scrivo qualche facile passaggio intermedio, limitandomi a descriverlo a parole quando possono esserci dubbi.
Poiché P è il punto medio di MN, pongo $M(5+u,-4+v),N(5-u,-4-v)$. Questi due punti stanno sull'iperbole, quindi si ha
${(16(5+u)^2-9(-4+v)^2=144), (16(5-u)^2-9(-4-v)^2=144):}$
Faccio i calcoli e poi sommo e sottraggo membro a membro, arrivando al sistema
${(16u^2-9v^2=-112),(20u+9v=0):}$
Dalla seconda equazione ricavo $v$ e lo sostituisco nella prima, che poi risolvo; alla fine, una soluzione e $u=(3sqrt7)/4, v=-(5sqrt7)/3$. L'altra soluzione ha i segni scambiati e posso trascurarla perché corrisponde a scambiare fra loro M,N.
La retta MN ha quindi pendenza
$m=v/u=-20/9$
e poiché passa per P ha equazione
$y+4=-20/9(x-5)->20x+9y=64$
Poiché P è il punto medio di MN, pongo $M(5+u,-4+v),N(5-u,-4-v)$. Questi due punti stanno sull'iperbole, quindi si ha
${(16(5+u)^2-9(-4+v)^2=144), (16(5-u)^2-9(-4-v)^2=144):}$
Faccio i calcoli e poi sommo e sottraggo membro a membro, arrivando al sistema
${(16u^2-9v^2=-112),(20u+9v=0):}$
Dalla seconda equazione ricavo $v$ e lo sostituisco nella prima, che poi risolvo; alla fine, una soluzione e $u=(3sqrt7)/4, v=-(5sqrt7)/3$. L'altra soluzione ha i segni scambiati e posso trascurarla perché corrisponde a scambiare fra loro M,N.
La retta MN ha quindi pendenza
$m=v/u=-20/9$
e poiché passa per P ha equazione
$y+4=-20/9(x-5)->20x+9y=64$
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