Equazione

[Umbreon93]

$sqrt(2)*x^4 +x^3(2*sqrt(2) +3)+x^2(2*sqrt(2)+6)+x(2*sqrt(2)+3)+sqrt(2)=0$

Riconosco un'equazione reciproca di prima specie (4° grado) .
Raccolgo a fattor comune

$sqrt(2) *(x^2+1/x^2) + (2*sqrt(2) +3)(x+1/x)+(2*sqrt(2)+6)$

Opero con un cambio di variabile $(x+1/x)=y ; (x^2+1/x^2)=y-2$
e ottengo
$sqrt(2)*y+(2*sqrt(2)+3)*y+6$

A questo punto svolgo l'equazione di 2° grado :

$[-2*sqrt(2)-3 +-sqrt(23+4*sqrt(2)-24*sqrt(2) )]/(2*sqrt(2))$

Adesso mi sono bloccato perchè mi sembra sbagliato in quanto il risultato del libro torna :

$-1 ; -1/sqrt(3) ; -sqrt(3)$

Sto facendo giusto ? dopo quel punto non so che tirare fuori per completare l'equazione di 2° grado e procedere !

[giammaria2]

Hai sbagliato nel calcolo del discriminante. Io ottengo
$Delta=(2sqrt2+3)^2-24sqrt2=(2sqrt2)^2+9+12sqrt2-24sqrt2=(2sqrt2)^2+9-12sqrt2=(2sqrt2-3)^2$
Ho usato una scorciatoia, ma capita spesso di poterla usare e non è male conoscerla: in pratica, ho notato che cambia solo il segno del doppio prodotto e quindi devo solo cambiare il segno fra i due addendi nel quadrato iniziale. Un metodo più lungo e banale è invece
$Delta=(2sqrt2+3)^2-24sqrt2=8+9+12sqrt2-24sqrt2=17-12sqrt2$
e poi usare la formula per i radicali doppi.

[Umbreon93]

Avevo sbagliato il doppio prodotto,grazie!
Adesso mi ritrovo

$[-2sqrt(2)-3 +-sqrt(17-12sqrt(2) )] / (2sqrt(2))$

Che cosa posso fare ?
Il problema è che non vedo niente da semplificare quindi mi viene in mente di prendere tutto sto coso e fare

$x+1/x-[-2sqrt(2)-3 +sqrt(17-12sqrt(2) )] / (2sqrt(2))=0$

e

$x+1/x-[-2sqrt(2)-3 -sqrt(17-12sqrt(2) )] / (2sqrt(2))=0$

Solo che così non torna! Potresti risolvermela ? Grazie

[giammaria2]

Il metodo più rapido è quello che ti ho indicato per primo, definendolo una scorciatoia. Se non vuoi prenderla, impara la formula per i radicali doppi, che trovi in molti siti; su quello di wikipedia puoi anche saltarne la dimostrazione e leggere solo le poche righe prima dell'esempio numerico.
Faccio alcuni calcoli, un pezzetto per volta.
Nella tua radice, $a=17,b=12^2*2= 288$, quindi $sqrt(a^2-b)=sqrt(289-288)=1$. Ne consegue
$sqrt (17-12sqrt2)=sqrt((17+1)/2)-sqrt((17-1)/2)=sqrt(18/2)-sqrt(16/2)=sqrt9-sqrt8=3-2sqrt2$
Ottieni quindi
$y_(1,2)=(-2sqrt2-3+-(3-2sqrt2))/(2sqrt2)=...$
Il resto non ti è certo difficile.

[Umbreon93]

1)Mettiamo caso che mi sia imparato la formula per i radicali doppi..anche se ci metto di più posso risolvere tutto ciò che potevo risolvere con la scorciatoia ?

2)$(-2sqrt2-3+-(3-2sqrt2))/(2sqrt2)$
mi da come risultati

$-3sqrt(2)/2$

e

$-2$ .

Vado con la risoluzione :

$x+1/x+3sqrt(2)/2=0$
e
$x+1/x+2=0$

Ottengo rispettivamente

$-(3sqrt(2)+-2)/4$ per la prima e

$-1$ per la seconda.

Il libro riporta i seguenti risultati : $-1 ; -1/sqrt(2) ; -sqrt(2)$

$-(3sqrt(2)+-2)/4$ = $-1/sqrt(2) / -sqrt(2)$ oppure ho sbagliato qualcosa ?
No perchè stavolta non si tratta di razionalizzazione..

[giammaria2]

1) Tutto quello che si può fare con la scorciatoia si può fare anche con la formula dei radicali doppi, che è la strada maestra. Questo non significa che tutti i radicali doppi sia spezzabili in cose più semplici, ma allora non lo si può fare con nessun metodo.

2) Attento ai calcoli!
$x+1/x+(3sqrt2)/2=0->x^2+3sqrt2x+2=0->...->x_(1,2)=(-3sqrt2+-sqrt2)/4=...$

[Umbreon93]

Cell'ho fatta! Non so come ringraziarti per la pazienza