Eq. Esponenziali/Logaritmiche con incognite ovunque

[Ecce]

Mi chiedevo, come si chiamano e come si risolvono eq./disequazioni del tipo:

(1+0,5t)>1,05^t

cioè in cui l'incognita compare sia alla base che all'esponente.
perchè comunque la manipolo non riesco ad estrarre l'incognita dal logaritmo.

Grazie

Ps
Questa in particolare sarebbe il grafico di due funzioni interesse composto e interesse semplice, graficamente è abbastanza evidente e risulta che la prima sovrasta la seconda per 0

[ciampax]

Per risolvere questo tipo di equazioni/disequazioni, difficilmente puoi procedere per via analitica "esatta" (nel senso che non ci sono metodi algebrici che ti permettano di esibire una soluzione precisa.)

In questi casi si procede o per via grafica (disegnando le due funzioni) oppure, se proprio vuoi usare una via analitica, dovresti andare a studiare la funzione

[math]f(t)=(1+0,5 t)-1,05^t[/math]

e verificare quando questa è positiva.

Ti scrivo rapidamente cosa viene fuori: poiché

[math]\lim_{t\to+\infty} f(t)=\lim_{t\to +\infty}1,05^t\left(\frac{1+0,5 t}{1,05^t}-1\right)=-\infty[/math]

mentre

[math]f(0)=0[/math]

, analizzando la derivata si ricava

[math]f'(t)=0,5-1,05^t\cdot\log(1,05)=0[/math]

se e solo se

[math]t\log 1,05=\log\frac{0,5}{\log(1,05)}=\log(0,5)-\log(1,05)[/math]

e quindi

[math]t=\frac{\log(0,5)-\log(1,05)}{\log(1,05)}=a[/math]

il quale risulta punto di massimo. In tale punto la funzione risulta positiva, pertanto esisterà una sola intersezione tra la funzione e l'asse delle ascisse in un punto

[math]t_0\in[a,+\infty)[/math]

Questo implica che la funzione sarà positiva per

[math]t\in(0,t_0)[/math]

.

Se usi un programma per computer, il valore per la radice è

[math]t_0=74,76[/math]

[Ecce]

Ok, immaginavo, mi è molto utile questo studio di funzione thx!