Elllissi!!!
Lo so,in vacanza ci si deve riposare ma... 
sono costretta a postare questi es. perchè non sono sicura di come ho fatto a svolgerli (e i risultati non ci sono!! 
)
1.
Plutone compie un'orbita ellittica attorno al sole.L'asse maggiore dell'ellisse descritta misura 7350*10^6 miglia.
L'asse minore misura 7177*10^6 miglia.
calcolare la minima e la massima distanza dal Sole....
2.
ho un fascio di parabole tangenti in O(0;0) alla retta 5x-6y=0.
-determinare quella passante per A (5/2;0)
-inscrivere nel segmento parabolico un rettangolo di perimetro 11/3.
-scrivere l'equazione dell'ellisse inscritta nel rettangolo.
GRAZIEEEE!!!
sono costretta a postare questi es. perchè non sono sicura di come ho fatto a svolgerli (e i risultati non ci sono!! )1.
Plutone compie un'orbita ellittica attorno al sole.L'asse maggiore dell'ellisse descritta misura 7350*10^6 miglia.
L'asse minore misura 7177*10^6 miglia.
calcolare la minima e la massima distanza dal Sole....
2.
ho un fascio di parabole tangenti in O(0;0) alla retta 5x-6y=0.
-determinare quella passante per A (5/2;0)
-inscrivere nel segmento parabolico un rettangolo di perimetro 11/3.
-scrivere l'equazione dell'ellisse inscritta nel rettangolo.
GRAZIEEEE!!!
Risposte
1) Fissiamo un sistema di riferimento monometrico
ortogonale xy nel piano, e sia $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
l'equazione della traiettoria di Plutone (un'ellisse).
Poniamo il Sole nel fuoco dell'ellisse avente ascissa
positiva c. Se 2a e 2b (a e b sono positivi) sono
rispettivamente l'asse
maggiore e l'asse minore, allora l'ascissa (in modulo) del
fuoco è pari a: $c=sqrt(a^2-b^2)$. Se fai un disegno
vedi che la minima distanza e la massima sono:
$d_(min)=|a-c|$
$d_(max)=|a+c|$
Salvo errori.
ortogonale xy nel piano, e sia $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
l'equazione della traiettoria di Plutone (un'ellisse).
Poniamo il Sole nel fuoco dell'ellisse avente ascissa
positiva c. Se 2a e 2b (a e b sono positivi) sono
rispettivamente l'asse
maggiore e l'asse minore, allora l'ascissa (in modulo) del
fuoco è pari a: $c=sqrt(a^2-b^2)$. Se fai un disegno
vedi che la minima distanza e la massima sono:
$d_(min)=|a-c|$
$d_(max)=|a+c|$
Salvo errori.
2)
Parabola: $y=-1/3x(x-5/2)$
Vertici del rettangolo: $(1/2,0)$, $(1/2,1/3)$ , $(2,1/3)$ , $(2,0)$
Ellisse: $((x-5/4)/(3/4))^2+((y-1/6)/(1/6))^2=1$
Parabola: $y=-1/3x(x-5/2)$
Vertici del rettangolo: $(1/2,0)$, $(1/2,1/3)$ , $(2,1/3)$ , $(2,0)$
Ellisse: $((x-5/4)/(3/4))^2+((y-1/6)/(1/6))^2=1$
le condizioni necessarie e sufficienti per determinare l'equazione della parabola sono tre (oppure una + coordinate del vertice), dobbiamo infatti determinare i parametri a,b,c dell'equazione della generica parabola $y=ax^2+bx+c$
c è immediatamente determinato, infatti il fatto che la parabola è tangente nell'origine ci informa che ha ordinata all'origine nulla; in altre parole sostituendo (0,0) nell'equazione della parabola, otteniamo un'identità. $c=0$
dobbiamo determinare a,b in $y=ax^2+bx$
possiamo sostituire le coordinate di A ottenendo:$0 =25/4a+5/2b$
adesso dibbiamo imporre la condizione di tangenza con il sistema:
$y=ax^2+bx$
$y=5/6x$
da cui $5/6x=ax^2+bx rArr ax^2+(b-5/6)x=0$ dicasi equazione risolvente. affinchè si abbia la tangenza deve essere $Delta=0$ allora $(b-5/6)^2=0$
a questo punto metti a sistema le condizioni:
$0 =25/4a+5/2b$
$(b-5/6)^2=0 rArr b=5/6$
spero di non aver commesso errori, ma il sistema è questo
c è immediatamente determinato, infatti il fatto che la parabola è tangente nell'origine ci informa che ha ordinata all'origine nulla; in altre parole sostituendo (0,0) nell'equazione della parabola, otteniamo un'identità. $c=0$
dobbiamo determinare a,b in $y=ax^2+bx$
possiamo sostituire le coordinate di A ottenendo:$0 =25/4a+5/2b$
adesso dibbiamo imporre la condizione di tangenza con il sistema:
$y=ax^2+bx$
$y=5/6x$
da cui $5/6x=ax^2+bx rArr ax^2+(b-5/6)x=0$ dicasi equazione risolvente. affinchè si abbia la tangenza deve essere $Delta=0$ allora $(b-5/6)^2=0$
a questo punto metti a sistema le condizioni:
$0 =25/4a+5/2b$
$(b-5/6)^2=0 rArr b=5/6$
spero di non aver commesso errori, ma il sistema è questo
X mirco 59: ho provato a fare i calcoli,ma mi vengono dei risultati diversi...
l'equazione della parabola viene y= -1/3x^2+ 5/6 x
poi i lati del rettangolo inscritto mi vengono diversi.. e non sono molto sicura su come fare per determinarli...qualcuno può dirmi il procedimento in modo un pò chiaro???grazie!!!
l'equazione della parabola viene y= -1/3x^2+ 5/6 x
poi i lati del rettangolo inscritto mi vengono diversi.. e non sono molto sicura su come fare per determinarli...qualcuno può dirmi il procedimento in modo un pò chiaro???grazie!!!
sviluppando il sistema
$b=5/6$
$0=25/4a+5/2(5/6)$
otteniamo
$a=-1/3$
da cui l'equazione della parabola $y=-1/3x^2+5/6x$
http://img98.imageshack.us/img98/9314/parabola7jy.jpg]
adesso dobbiamo prendere un generico rettangolo incritto nella parabola tale che il suo perimetro vale 11/3
l'equazione della retta parallela all'asse delle ascisse che funge da lato del rettangolo è $y=k$
il sistema formato dall'equazione della e retta e da quella della parabola ci dà i punti di intersezione delle curve:
$y=k$
$y=-1/3x^2+5/2x$
$rArr k=-1/3x^2+5/6x rArr 2x^2-5x+6k=0 rArr x=(5+-sqrt(25-48k))/4$
le coordinate dell'intersezione sono $P_1((5-sqrt(25-48k))/4,k)$ e $P_2((5+sqrt(25-48k))/4,k)$
la generica distanza tra due punti nel piano che appartengono ad una retta parallela all'asse delle ascisse vale $d=|x_1-x_2|
si trova allora $bar(P_1P_2)=(sqrt(25-48k))/2$ così si trova k: $sqrt(25-48k)+2k=11/3 rArr 4k^2+100/3k-104/9=0 rArr k_1=1/3 ^^^ k_2=-78/9$ che è ovviamente una soluzione degenere
$b=5/6$
$0=25/4a+5/2(5/6)$
otteniamo
$a=-1/3$
da cui l'equazione della parabola $y=-1/3x^2+5/6x$
http://img98.imageshack.us/img98/9314/parabola7jy.jpg]
adesso dobbiamo prendere un generico rettangolo incritto nella parabola tale che il suo perimetro vale 11/3
l'equazione della retta parallela all'asse delle ascisse che funge da lato del rettangolo è $y=k$
il sistema formato dall'equazione della e retta e da quella della parabola ci dà i punti di intersezione delle curve:
$y=k$
$y=-1/3x^2+5/2x$
$rArr k=-1/3x^2+5/6x rArr 2x^2-5x+6k=0 rArr x=(5+-sqrt(25-48k))/4$
le coordinate dell'intersezione sono $P_1((5-sqrt(25-48k))/4,k)$ e $P_2((5+sqrt(25-48k))/4,k)$
la generica distanza tra due punti nel piano che appartengono ad una retta parallela all'asse delle ascisse vale $d=|x_1-x_2|
si trova allora $bar(P_1P_2)=(sqrt(25-48k))/2$ così si trova k: $sqrt(25-48k)+2k=11/3 rArr 4k^2+100/3k-104/9=0 rArr k_1=1/3 ^^^ k_2=-78/9$ che è ovviamente una soluzione degenere
i vertici del rettangolo mi vengono diversi da quelli di mirco $(1/2,1/3)$,$(1/2,0)$,$(-1/2,1/3)$,$(-1/2,0)$
la generica equazione dell'ellisse in $RR^2$ è:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ con a e b semiassi dell'ellisse. si deve poi fare la traslazione di $vecv(0,1/6)$ di equazioni $x'=x,y'=y-1/6$. troviamo
$x^2/(1/2)^2+(y-1/6)^2/(1/3)^2=1 rArr 4x^2+9y^2-3y+1/4=1$
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ con a e b semiassi dell'ellisse. si deve poi fare la traslazione di $vecv(0,1/6)$ di equazioni $x'=x,y'=y-1/6$. troviamo
$x^2/(1/2)^2+(y-1/6)^2/(1/3)^2=1 rArr 4x^2+9y^2-3y+1/4=1$
Perfetto!!grazie mille,ora ho capito!!!!
micheletv, non ho capito perché fai quella traslazione...
perchè ho preso l'equazione generale dell'ellisse con centro nell'origine
beh,io al posto di questo passaggio ho usato semplicemente le condizioni di asse maggiore e asse minore,visto che sapevo la loro lunghezza (asse maggiore=lato maggiore rettangolo,asse minore=...)...ho fatto bene??
"micheletv":
perchè ho preso l'equazione generale dell'ellisse con centro nell'origine
Ho capito, ma cosa ti ha spinto a fare proprio quella traslazione? Proprio di quel vettore?!?
Aaah... Ho capito... Pensavo ti riferissi al problema 1 e invece ti stai riferendo al secondo,
dove chiede sempre di scrivere l'eq. di un'ellisse!
dove chiede sempre di scrivere l'eq. di un'ellisse!
scusate ragazzi! ho sbagliato: le coordinate sono giuste quelle di mirco59 ed è sbagliata anche l'equazione dell'ellisse perchè l'ho traslata nel segmento parabolico della parabola $y=-1/3x^2+5/6$, essendomi perso la x tra un calcolo e l'altro.
allora sempre partendo dalla generica ellisse:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$
$2a=|P_(1x)-P_(2x)|=2-1/2 rArr a=3/4$
$2b=k rArr b=1/6$
il centro dell'ellisse si troverà in $C((P_(1x)+P_(2x))/2,k/2)$ cioè $C(5/4,1/6)$ dobbiamo eseguire la traslazione $vecv(5/4,1/6)$ di equazioni $x'=x-5/4, y'=y-1/6$
si trova $((x-5/4)/(3/4))^2+((y-1/6)/(1/6))^2=1 rArr 16x^2+324y^2-40x-108y+25=0$
allora sempre partendo dalla generica ellisse:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$
$2a=|P_(1x)-P_(2x)|=2-1/2 rArr a=3/4$
$2b=k rArr b=1/6$
il centro dell'ellisse si troverà in $C((P_(1x)+P_(2x))/2,k/2)$ cioè $C(5/4,1/6)$ dobbiamo eseguire la traslazione $vecv(5/4,1/6)$ di equazioni $x'=x-5/4, y'=y-1/6$
si trova $((x-5/4)/(3/4))^2+((y-1/6)/(1/6))^2=1 rArr 16x^2+324y^2-40x-108y+25=0$
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