Ellissi inscritte in un triangolo con vertici dati

[claus931]

Salve...
Ho un triangolo di vertici O(0;0) A(6;0) B(0;8), devo trovare le equazioni delle elissi inscritte e come suggerimento ho di sfruttare le dilatazioni su una circonferenza. Non pretendo lo svolgimento ma gradirei qualche idea su come impostarlo con le dilatazioni... grazie!

[orsoulx]

Anche limitandosi alle coniche con gli assi paralleli a quelli cartesiani, le ellissi possibili sono infinite. Un procedimento per trovarne l'equazione potrebbe essere il seguente:
1) trasformi i vertici del triangolo con la dilatazione $ { (X=kx), (Y=y) :} $;
2) determini l'equazione della circonferenza inscritta nel ' nuovo' triangolo;
3) torni alle 'vecchie' coordinate applicando nuovamente, ma questa volta sull'equazione trovata, la dilatazione precedente.
Ciao

[claus931]

purtroppo non basta un omotetia in unica direzione...mi restituisce un circonferenza nel ritorno al vecchio sistema.

[orsoulx]

"claus93":mi restituisce un circonferenza nel ritorno al vecchio sistema

Proprio il cambiamento in un'unica direzione garantisce la quasi impossibilità di quanto affermi.
Senza perdere di generalità, possiamo imporre a $ k $ di essere positivo. L'unico caso in cui una circonferenza si trasforma in una circonferenza (similitudine) si ha quando $ k=1 $, cioè per l'identità.
Se non posti i procedimenti non posso aggiungere altro. Prova, magari, un caso numerico: con $ k=5/2 $ dovrebbe essere semplice, perché il radicale si semplifica.
Ciao