Ellisse: si accettano suggerimenti!!
Haloa!!!
Ho un piccolo dubbio su un problema...
si consideri l'ellisse di equazione $x^2/16+y^2/4=1$ e il fascio proprio di rette con sostegno nel punto P(0;4).
determinare l'equazione cartesiana del luogo dei punti medi dei segmenti aventi per estremi i punti di intersezione della generica retta del fascio con l'ellisse assegnata.
riconoscere e rappresentare il luogo ottenuto.
Io ho trovato le coordinate generiche del punto medio del segmento avente per estremi i punti di intersezione tra l'ellisse e il fascio, ma poi nn so piu` come andare avanti...
qualcuno ha suggerimenti?
Grazie mille!!
Ho un piccolo dubbio su un problema...
si consideri l'ellisse di equazione $x^2/16+y^2/4=1$ e il fascio proprio di rette con sostegno nel punto P(0;4).
determinare l'equazione cartesiana del luogo dei punti medi dei segmenti aventi per estremi i punti di intersezione della generica retta del fascio con l'ellisse assegnata.
riconoscere e rappresentare il luogo ottenuto.
Io ho trovato le coordinate generiche del punto medio del segmento avente per estremi i punti di intersezione tra l'ellisse e il fascio, ma poi nn so piu` come andare avanti...
qualcuno ha suggerimenti?
Grazie mille!!
Risposte
A questo punto il risultato dovrebbe essere nuovamente un'ellisse...
Cioe...
tu hai fatto un sistema tra l'equaz dell'ellisse e la retta y=mx+4,giusto?!?
Poi ti sei trovata le coordinate dei punti di intersezione in funzione di m...
Hai usato la formula del punto medio...
Il risultato è il luogo cercato,cioè un'ellisse,penso..
Prova a dirmi i risultati così vediamo insieme...
Cioe...
tu hai fatto un sistema tra l'equaz dell'ellisse e la retta y=mx+4,giusto?!?
Poi ti sei trovata le coordinate dei punti di intersezione in funzione di m...
Hai usato la formula del punto medio...
Il risultato è il luogo cercato,cioè un'ellisse,penso..
Prova a dirmi i risultati così vediamo insieme...
ho fatto esattamente cosi`!
e come risultato mi e` venuto
Xm= - 16m/(1+4m^2)
a qs punto ho detto che: y=Xm e x=m
e ho riscritto il risultato usando y e x. Potrebbe essere giusto???
e come risultato mi e` venuto
Xm= - 16m/(1+4m^2)
a qs punto ho detto che: y=Xm e x=m
e ho riscritto il risultato usando y e x. Potrebbe essere giusto???
il punto e` che a me qs nn sembra proprio un'ellisse...
a meno che sia nascosta...ma mi pare improbabile...
a meno che sia nascosta...ma mi pare improbabile...
I tuoi calcoli sono esatti fino alla Xm; il resto e' pura fantasia.
Per avere il luogo puoi invece eliminare la m tra le due equazioni:
[$x=(-16m)/(4m^2+1),y=mx+4$]
Dalla seconda ti ricavi la m:
$m=(y-4)/x$
che sostituito nella prima,a calcoli fatti, produce l'equazione:
$x^2+4y^2-16y=0$
Quest'ultima si puo' anche scrivere cosi':
$x^2+4(y^2-4y+4)=16$ ,oppure $x^2+4(y-2)^2=16$ e dividendo per 16:
$x^2/(16)+(y-2)^2/4=1$
che rappresenta l'ellisse di centro (0,2) e semiassi a=4,b=2.
In realta' il luogo non e' tutta l'ellisse (perche non tutte rette del
fascio tagliano l'ellisse data) ma solo l'arco di essa limitato da punti
$M(-2sqrt3,1),N(2sqrt3,1)$ che sono i punti di contatto delle tangenti
condotte da (0,4) all'ellisse data.
Archimede
Per avere il luogo puoi invece eliminare la m tra le due equazioni:
[$x=(-16m)/(4m^2+1),y=mx+4$]
Dalla seconda ti ricavi la m:
$m=(y-4)/x$
che sostituito nella prima,a calcoli fatti, produce l'equazione:
$x^2+4y^2-16y=0$
Quest'ultima si puo' anche scrivere cosi':
$x^2+4(y^2-4y+4)=16$ ,oppure $x^2+4(y-2)^2=16$ e dividendo per 16:
$x^2/(16)+(y-2)^2/4=1$
che rappresenta l'ellisse di centro (0,2) e semiassi a=4,b=2.
In realta' il luogo non e' tutta l'ellisse (perche non tutte rette del
fascio tagliano l'ellisse data) ma solo l'arco di essa limitato da punti
$M(-2sqrt3,1),N(2sqrt3,1)$ che sono i punti di contatto delle tangenti
condotte da (0,4) all'ellisse data.
Archimede
Allora..
hai trovato le coordinate della Xm..adesso le sostituisci (giustamente) nell'equazione y=mx+4..
Ottieni un sistema in cui:
(1)y=-16m^2/1+4m^2+4
(2)x=-16m/1+4m^2
adesso,noti che y=mx+4
Quindi la m =y-4/x
questo valore va sostituito nella (1) o nella (2) a tua scelta (prendi quella più semplice,ovvio!!).. il risultato è il tuo luogo.. (che credo proprio sia un' ellisse...)Fammi sapere se è tutto chiaro..
Ciao!
hai trovato le coordinate della Xm..adesso le sostituisci (giustamente) nell'equazione y=mx+4..
Ottieni un sistema in cui:
(1)y=-16m^2/1+4m^2+4
(2)x=-16m/1+4m^2
adesso,noti che y=mx+4
Quindi la m =y-4/x
questo valore va sostituito nella (1) o nella (2) a tua scelta (prendi quella più semplice,ovvio!!).. il risultato è il tuo luogo.. (che credo proprio sia un' ellisse...)Fammi sapere se è tutto chiaro..
Ciao!
Grazie mille Ila !!! Mi e` tutto chiarissimo !! 
Grazie anche ad Archimede!!
Ciao ciao !!
Grazie anche ad Archimede!!
Ciao ciao !!
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