Ellisse passante per un Punto

[Hamail2121]

Scrivi l’equazione dell’ellisse che passa per P( \( 6/\sqrt{5} \) , 1) e ha fuochi in F( \( \pm \) 2, 0).
{ Soluzione: x[size=50]2[/size]/ 9 + y[size=50]2[/size] / 5 =1 }

[Zero87]

Ciao @AugusteC e benvenuto/a al forum.

Nel tuo caso l'ellisse ha asse maggiore sull'asse x, tant'è vero che i fuochi sono sull'asse x. La fortuna è che nei casi in cui i fuochi sono sull'asse x e asse y ci sono formule "semplicine" che permettono di trovare l'equazione dell'ellisse stesso.

Comunque cosa hai provato a fare? Hai provato ad applicare qualcosa di quanto hai visto a scuola? Hai difficoltà nell'impostare l'esercizio?
Prova a dirci dove hai difficoltà e cercheremo di aiutarti.

[Gulleri]

Sappiamo che un'ellisse ha equazione generale $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, quindi si tratta di trovare i valori di $a$ e di $b$. Poiché i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse, allora deve essere $a>b$. Chiamando $c$ la coordinata del fuoco, si sa che vale a relazione $c^2=a^2-b^2$.
Pertanto i valori di $a$ e di $b$ sono costituiti dalle soluzioni del sistema \begin{cases} \frac{(6/\sqrt{5})^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\\ 2^2=a^2-b^2\end{cases}
Svolgendo i calcoli ti dovrebbe venire ti dovrebbe venire.

[Hamail2121]

Dato che so che c=2 allora:
c^2= a^2-b^2
4=a^2-b^2
b^2=a^2-4

L’equazione generica di un’ellisse è: \( x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 \)
Faccio:
\( x^2/a^2 + y^2/(a^2-4)=1 \)
Sostituisco le x e y con le coordinate di P:
\( 36/5a^2 + 1/(a^2-4)-1/1=0 \)
\( (36a^2-144+5a^2 -5a^4-20a^2)/5a^2(a^2-4)=0 \)
\( -5a^4+21a^2-144=0 \)
\( 5a^4-21a^2+144=0 \)
Pongo \( t=a^2 \) :
\( 5t^2-21t+144=0 \)
Dato che \( \Delta \) = \( (-21)^2 -4(5)(144) = 441-2880 \)
\( t=(21\pm \sqrt{441-2880} )/10 \)
E mi sono bloccato qua non riesco a trovare il mio errore perciò ho pensato di chiedere a voi...

[mgrau]

"AugusteC":

$ 5t^2-21t+144=0$

Mi pare che risulti -61 e non -21

[@melia]

C'è un errore di segno qui

"AugusteC":
\( 36/5a^2 + 1/(a^2-4)-1/1=0 \)
\( (36a^2-144+5a^2 -5a^4-20a^2)/5a^2(a^2-4)=0 \)

La forma corretta è $ (36a^2-144+5a^2 -5a^4+20a^2)/(5a^2(a^2-4))=0 $

[Hamail2121]

Quindi se era: $ (36a^2-144+5a^2 -5a^4+20a^2)/(5a^2(a^2-4))=0 $ Da cui \( -5a^4+61a^2-144=0 \Rightarrow 5a^4-61a^2+144=0 \Rightarrow 5t^2-61t+144=0 \Rightarrow t=(61\pm \sqrt{841} )/10 \Rightarrow \)
t[size=50]1[/size]= 9
t[size=50]2[/size]= 16/5
Viene \( a^2=9 \vee a^2=16/5 \) , poi:
\( b^2=9-4=5 \)
Quindi l’equazione dell’ellisse è: \( x^2/9 +y^2/5=1 \)
Mi viene adesso! Grazie a tutti...

[@melia]

L’altra soluzione è da escludere perché risulterebbe $a

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