Ellisse, il mio problema
Salve,
non riesco a risolvere in nessun modo questo problema sull'ellisse:
i punti di intersezione dell'ellisse x2/a2+y2/b2=1 con le rette x+2y-5=0 e
x-2y-5=0 determinano un trapezio isoscele avente la base maggiore doppia
della minore e area di misura 6. Scrivere l'eq. dell'ellisse e calcolare la
lunghezza del perimetro del rettangolo individuato dai punti di intersezione
dell'ellisse con la circonferenza x2+y2=45/4
grazie!grazie!
Teresa III liceo scientifico
non riesco a risolvere in nessun modo questo problema sull'ellisse:
i punti di intersezione dell'ellisse x2/a2+y2/b2=1 con le rette x+2y-5=0 e
x-2y-5=0 determinano un trapezio isoscele avente la base maggiore doppia
della minore e area di misura 6. Scrivere l'eq. dell'ellisse e calcolare la
lunghezza del perimetro del rettangolo individuato dai punti di intersezione
dell'ellisse con la circonferenza x2+y2=45/4
grazie!grazie!
Teresa III liceo scientifico
Risposte
per trovare a e b devi avere 2 equazioni con le 2 incognite. il pocedimento consiste nell'intersecare le rette con l'ellisse. dovesti trovare 4 punti dipendenti da a e b (2 punti per retta). poi con la formula della distanza fra 2 punti calcoli le lunghezze delle 2 basi e le poni una il doppio dell'altra (e questa è la prima equazione) poi determini l'altezza e con essa scrivi l'area, la poni uguale a 6 e ottieni la 2 equazione. risolvi il sistema e trovi a e b, così puoi scrivere l'equazione dell'ellisse. ora, se fa l'intersezione fra ellisse e circonferenza ottieni 4 punti senza parametro, di cui facilemnt calcoli le distanze e quindi il perimetro.
quote:
Originally posted by giacor86
per trovare a e b devi avere 2 equazioni con le 2 incognite. il pocedimento consiste nell'intersecare le rette con l'ellisse. dovesti trovare 4 punti dipendenti da a e b (2 punti per retta). poi con la formula della distanza fra 2 punti calcoli le lunghezze delle 2 basi e le poni una il doppio dell'altra (e questa è la prima equazione) poi determini l'altezza e con essa scrivi l'area, la poni uguale a 6 e ottieni la 2 equazione. risolvi il sistema e trovi a e b, così puoi scrivere l'equazione dell'ellisse. ora, se fa l'intersezione fra ellisse e circonferenza ottieni 4 punti senza parametro, di cui facilemnt calcoli le distanze e quindi il perimetro.
Hai perso 10 minuti per scrivere il tuo componimento.Avresti pouto dedicare questo tempo per scrivergli/le i passaggi algebrici.Non ti pare?
Il problema posto e’ semplice nell’impostazione,
ma e’ piottosto laborioso nello svolgimento.
Se esplicitiamo y dall’eq. dell’ellisse, otteniamo
y^2=b^2*(1-(x/a)^2), e se facciamo la stessa cosa
per la retta y=(5-x)/2, possiamo ricavare i punti di
intersezione (x1,y1) e (x2,y2) in funzione dei parametri
a e b dell’ellisse (data la simmetria, consideriamo solo
la parte positiva di y).
Date le condizioni del problema, dobbiamo ora imporre
che y1=2*y2 e che l’area (y1+y2)*(x2-x1)=6.
Abbiamo cosi’ 6 equazioni e possiamo (con fatica se
elaborate ...... a mano) ricavare le 6 incognite:
x1=1; x2=3; y1=2; y2=1; a=3.416; b=2.092
Le ultime 2, ci permettono di individuare l’ellisse che,
messa in sistema con l’eq. del cerchio (x^2+y^2=45/4)
ci permette di ricavare i semilati del rettangolo:
X=3.317; Y=0.5, da cui il perimetro 4*(X+Y)=15.266.
Il procedimento, se svolto con il calcolatore, e’ semplice
(ma piuttosto lungo da trasmettere qui come figura)
Posso cmq inviarlo come allegato ad una e-mail (vedi
indirizzo in Profile) a chiunque ne faccia richiesta.
ma e’ piottosto laborioso nello svolgimento.
Se esplicitiamo y dall’eq. dell’ellisse, otteniamo
y^2=b^2*(1-(x/a)^2), e se facciamo la stessa cosa
per la retta y=(5-x)/2, possiamo ricavare i punti di
intersezione (x1,y1) e (x2,y2) in funzione dei parametri
a e b dell’ellisse (data la simmetria, consideriamo solo
la parte positiva di y).
Date le condizioni del problema, dobbiamo ora imporre
che y1=2*y2 e che l’area (y1+y2)*(x2-x1)=6.
Abbiamo cosi’ 6 equazioni e possiamo (con fatica se
elaborate ...... a mano) ricavare le 6 incognite:
x1=1; x2=3; y1=2; y2=1; a=3.416; b=2.092
Le ultime 2, ci permettono di individuare l’ellisse che,
messa in sistema con l’eq. del cerchio (x^2+y^2=45/4)
ci permette di ricavare i semilati del rettangolo:
X=3.317; Y=0.5, da cui il perimetro 4*(X+Y)=15.266.
Il procedimento, se svolto con il calcolatore, e’ semplice
(ma piuttosto lungo da trasmettere qui come figura)
Posso cmq inviarlo come allegato ad una e-mail (vedi
indirizzo in Profile) a chiunque ne faccia richiesta.
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Hai perso 10 minuti per scrivere il tuo componimento.Avresti pouto dedicare questo tempo per scrivergli/le i passaggi algebrici.Non ti pare?
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no.
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no.
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