Ellisse geometria analitica anche solo passaggi senza conti
Salve a tutti,devo fare questi problemi,ci ho provato ma non so da dove cominciare,c'è qualcuno che mi spiega passo passo come si fanno?anche senza i procedimenti matematici(con i numeri) li posso fare da sola,mi servono solo i passaggi in italiano.
1) considera la retta r di equazione x+2y-5=0
a-scrivi l'equazione della circonferenza γ avente centro nell'origine e tangente alla retta r.
b-scrivi l'equazione dell'ellisse δ avente centro in C (2,0) i fuochi sull'asse x e tangente alla retta r nel suo punto P di ascissa 3.
c-determina la misura della orda che γ e δ hanno in comune.
2) scrivi l'equazione dell'ellisse γ avente centro nell'origine e un ventice in V (0,√2) sapendo che la retta di eq. y= 1 stacca su γ una corda di misura 2√3. dopo aver determinato i fuochi (xf1
1) considera la retta r di equazione x+2y-5=0
a-scrivi l'equazione della circonferenza γ avente centro nell'origine e tangente alla retta r.
b-scrivi l'equazione dell'ellisse δ avente centro in C (2,0) i fuochi sull'asse x e tangente alla retta r nel suo punto P di ascissa 3.
c-determina la misura della orda che γ e δ hanno in comune.
2) scrivi l'equazione dell'ellisse γ avente centro nell'origine e un ventice in V (0,√2) sapendo che la retta di eq. y= 1 stacca su γ una corda di misura 2√3. dopo aver determinato i fuochi (xf1
Risposte
1)
Tutte le circonferenze aventi centro nell'origine sono della forma
L'equazione generica della circonferenza è
L'ascissa del centro si trova facendo
E pertanto se il centro ha ascissa =0 sarà
Analogamente essendo l'ordinata del centro
Sarà b=0
Il raggio della circonferenza è dato da
Ma essendo
sarà
La circonferenza diverrà
Detto questo sappiamo che la retta
è tangente.
Ma allora la distanza tra il centro e la retta sarà uguale al raggio
Calcoliamo la distanza tra il centro della circonferenza e la retta
La distanza tra un punto
ed una retta
è data da
Nel nostro caso il punto ha coordinate (0,0), la retta ha a=1 b=2 c=-5
Il raggio è dunque
La circonferenza sarà
Fino a qui ci sei?
Ho preso più o meno i punti salienti della teoria sulla circonferenza. Scrivi quando posso andare avanti
Tutte le circonferenze aventi centro nell'origine sono della forma
[math]\ x^2+y^2=r^2[/math]
L'equazione generica della circonferenza è
[math]\ x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]
L'ascissa del centro si trova facendo
[math]\frac{-a}{2}[/math]
E pertanto se il centro ha ascissa =0 sarà
[math]\frac{-a}{2}=0 \leftrightarrow a=0[/math]
Analogamente essendo l'ordinata del centro
[math]\frac{-b}{2}[/math]
Sarà b=0
Il raggio della circonferenza è dato da
[math]\sqrt{(\frac{-a}{2})^2+( \frac{-b}{2})^2 -c}[/math]
Ma essendo
[math]\frac{-a}{2}=0 \\ \frac{-b}{2}=0[/math]
sarà
[math]r= \sqrt{-c} \leftrightarrow r^2=-c[/math]
La circonferenza diverrà
[math]x^2+y^2+c=0 \leftrightarrow x^2+y^2=-c \leftrightarrow x^2+y^2=r^2[/math]
Detto questo sappiamo che la retta
[math] x+2y-5=0[/math]
è tangente.
Ma allora la distanza tra il centro e la retta sarà uguale al raggio
Calcoliamo la distanza tra il centro della circonferenza e la retta
La distanza tra un punto
[math]P(x_0 y_0)[/math]
ed una retta
[math]ax+by+c=0[/math]
è data da
[math]\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]
Nel nostro caso il punto ha coordinate (0,0), la retta ha a=1 b=2 c=-5
[math]\frac{|1\cdot 0+ 2\cdot 0 -5|}{\sqrt{1^2+2^2}}[/math]
[math]\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}[/math]
Il raggio è dunque
[math]\sqrt{5}[/math]
La circonferenza sarà
[math]x^2+y^2=5[/math]
Fino a qui ci sei?
Ho preso più o meno i punti salienti della teoria sulla circonferenza. Scrivi quando posso andare avanti
si guarda,il primo problema l'ho già svolto!mi è venuto ;) il secondo non ci riescoo
Sappiamo che l'ellisse ha centro nel punto C(2,0)
Allora sappiamo che dobbiamo trovare l'equazione di un'ellisse non canonica, ma traslata.
L'equazione di un'ellisse traslata, noto il centro di coordionate x0 y0, è
Pertanto, nel nostro caso, dobbiamo trovare l'equazione dell'ellisse del tipo
A questo punto sappiamo che l'ellisse passa per il punto (3,1) (che è il punto di tangenza con la retta, e pertanto appartiene all'ellisse.
Quindi poniamo la condizione di appartenenza del punto all'ellisse di cui sopra
Siccome le incognite sono 2, ovvero
Avremo bisogno di una seconda informazione.
Il punto appartenente alla retta e di ascissa 3 ha ordinata 1
(Basta sostituire la x all'equazione della retta e troviamo la y)
Sappiamo che la pendenza della retta tangente all'ellisse è data da
Nel nostro caso la retta ha equazione
Mettiamo a sistema e troviamo i valori di a^2 e di b^2
Tutto chiaro?
Allora sappiamo che dobbiamo trovare l'equazione di un'ellisse non canonica, ma traslata.
L'equazione di un'ellisse traslata, noto il centro di coordionate x0 y0, è
[math]\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+ \frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1[/math]
Pertanto, nel nostro caso, dobbiamo trovare l'equazione dell'ellisse del tipo
[math]\frac{(x-2)^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1[/math]
A questo punto sappiamo che l'ellisse passa per il punto (3,1) (che è il punto di tangenza con la retta, e pertanto appartiene all'ellisse.
Quindi poniamo la condizione di appartenenza del punto all'ellisse di cui sopra
[math]\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}=1[/math]
Siccome le incognite sono 2, ovvero
[math]a^2 \qquad e \qquad b^2[/math]
Avremo bisogno di una seconda informazione.
Il punto appartenente alla retta e di ascissa 3 ha ordinata 1
(Basta sostituire la x all'equazione della retta e troviamo la y)
Sappiamo che la pendenza della retta tangente all'ellisse è data da
[math] m= \frac{b^2x_0}{a^2y_0}[/math]
Nel nostro caso la retta ha equazione
[math]\ x+2y-5=0 \Leftrightarrow y= - \frac{1}{2}x+ \frac{5}{2}[/math]
[math] - \frac{1}{2}= \frac{3b^2}{a^2}[/math]
Mettiamo a sistema e troviamo i valori di a^2 e di b^2
Tutto chiaro?
okok!!!ho fatto in un altro modo però mi è venuto,ora per la corda come facciamo?
Per trovare la lunghezza della corda, io procederei così:
dal momento che la corda appartiene ad entrambe le curve,significa che i punti che ne delimitano la lunghezza appartengono ad entrambe le funzioni.
Pertanto io troverei i punti di intersezione tra circonferenza ed ellisse, e a quel punto calcolerei la distanza tra i due punti..
dal momento che la corda appartiene ad entrambe le curve,significa che i punti che ne delimitano la lunghezza appartengono ad entrambe le funzioni.
Pertanto io troverei i punti di intersezione tra circonferenza ed ellisse, e a quel punto calcolerei la distanza tra i due punti..
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