Ellisse e retta tangente
Ciao a tutti,
Per caso devo fare questo esercizio:
Trova per quali valori di K l'ellisse di equazione
$x^2$/k+6 + $y^2$/1-k = 1
è tangente alla retta di equazione y= -2x+4
Io ho provato a mettere a sistema e sostituire la y nella prima equazione per poi dire che il delta deve essere uguale a zero, ma mi viene un equazione lunghissima, difficile e di terzo grado. Sbaglio qualcosa?
Grazie
Per caso devo fare questo esercizio:
Trova per quali valori di K l'ellisse di equazione
$x^2$/k+6 + $y^2$/1-k = 1
è tangente alla retta di equazione y= -2x+4
Io ho provato a mettere a sistema e sostituire la y nella prima equazione per poi dire che il delta deve essere uguale a zero, ma mi viene un equazione lunghissima, difficile e di terzo grado. Sbaglio qualcosa?
Grazie
Risposte
Il metodo tradizionale è quello che indichi ed effettivamente si ottiene un'equazione di terzo grado, passando attraverso numeri abbastanza alti; io vedo solo una scorciatoia ma anch'io l'ho notata solo "a posteriori". L'equazione in $x$ è
$x^2(3k+25)-16x(k+6)+(k^2+21k+90)=0$
e il termine noto può essere scomposto in $(k+6)(k+15)$ quindi il $Delta/4=0$ dà
$64(k+6)^2- (k+6)(k+15)(3k+25)=0$
e puoi subito mettere in evidenza $(k+6)$, riducendo la complessità dei calcoli.
Poiché due delle tre soluzioni sono proprio i numeri che annullano un denominatore, suppongo che ci sia una soluzione più veloce; probabilmente però richiede conoscenze universitarie e quindi non è applicabile in questa parte del sito. Un grande applauso a chi mi smentisce.
$x^2(3k+25)-16x(k+6)+(k^2+21k+90)=0$
e il termine noto può essere scomposto in $(k+6)(k+15)$ quindi il $Delta/4=0$ dà
$64(k+6)^2- (k+6)(k+15)(3k+25)=0$
e puoi subito mettere in evidenza $(k+6)$, riducendo la complessità dei calcoli.
Poiché due delle tre soluzioni sono proprio i numeri che annullano un denominatore, suppongo che ci sia una soluzione più veloce; probabilmente però richiede conoscenze universitarie e quindi non è applicabile in questa parte del sito. Un grande applauso a chi mi smentisce.
Grazie mille, in effetti mi sembrava molto difficile per quanto riguarda i calcoli rispetto agli esercizi che di solito vengono proposti dal libro.
Comunque è venuto anche a me, grazie mille
Comunque è venuto anche a me, grazie mille
Prego
Io proporrei di risolvere così ...
Se l'equazione della tangente a un'ellisse in un suo punto $(x_0, y_0)$ è del tipo
$(x*x_0)/a^2+(y*y_0)/b^2=1$,
allora l'equazione della tangente data
$y=-2x+4$
deve coincidere con la precedente.
Quindi deve essere
$2x+y=4->x/2+y/4=1 = (x*x_0)/(k+6)+(y*y_0)/(1-k)$.
Perché questo avvenga si deve avere che
$1/2=x_0/(k+6)$
e
$1/4=y_0/(1-k)$,
da cui
$x_0=(k+6)/2$
e
$y_0=(1-k)/4$.
Poiché il punto $(x_0, y_0)$ deve appartenere all'ellisse, si deve avere che
$(x_0^2)/(k+6)+(y_0^2)/(1-k)=1$
e perciò
$(k+6)^2/(4(k+6))+(1-k)^2/(16(1-k))=1->(k+6)/4+(1-k)/16=1->4k+24+1-k=16->3k=-9->k=-3$.
Quindi l'ellisse ha equazione
$x^2/(-3+6)+y^2/(1-(-3))=1->x^2/3+y^2/4=1$
e il punto di tangenza ha coordinate
$x_0=(-3+6)/2=3/2$
e
$y_0=[1-(-3)]/4=1$.
Se l'equazione della tangente a un'ellisse in un suo punto $(x_0, y_0)$ è del tipo
$(x*x_0)/a^2+(y*y_0)/b^2=1$,
allora l'equazione della tangente data
$y=-2x+4$
deve coincidere con la precedente.
Quindi deve essere
$2x+y=4->x/2+y/4=1 = (x*x_0)/(k+6)+(y*y_0)/(1-k)$.
Perché questo avvenga si deve avere che
$1/2=x_0/(k+6)$
e
$1/4=y_0/(1-k)$,
da cui
$x_0=(k+6)/2$
e
$y_0=(1-k)/4$.
Poiché il punto $(x_0, y_0)$ deve appartenere all'ellisse, si deve avere che
$(x_0^2)/(k+6)+(y_0^2)/(1-k)=1$
e perciò
$(k+6)^2/(4(k+6))+(1-k)^2/(16(1-k))=1->(k+6)/4+(1-k)/16=1->4k+24+1-k=16->3k=-9->k=-3$.
Quindi l'ellisse ha equazione
$x^2/(-3+6)+y^2/(1-(-3))=1->x^2/3+y^2/4=1$
e il punto di tangenza ha coordinate
$x_0=(-3+6)/2=3/2$
e
$y_0=[1-(-3)]/4=1$.
Bellissimo! Ti faccio tutti i miei complimenti.
A me non era venuto in mente questo metodo; ripensandoci avevo solo trovato che la presenza delle soluzioni $k=1$ e $k=-6$ era prevedibile ma questo non era di aiuto. Il mio ragionamento era stato: quando $k$ tende ad uno di questi valori l'ellisse si schiaccia intorno ad un asse cartesiano, fino a ridursi a due segmenti sovrapposti: le sue intersezioni con una retta obliqua vengono a coincidere fra loro e quindi in corrispondenza a questi valori avremo $Delta=0$.
A me non era venuto in mente questo metodo; ripensandoci avevo solo trovato che la presenza delle soluzioni $k=1$ e $k=-6$ era prevedibile ma questo non era di aiuto. Il mio ragionamento era stato: quando $k$ tende ad uno di questi valori l'ellisse si schiaccia intorno ad un asse cartesiano, fino a ridursi a due segmenti sovrapposti: le sue intersezioni con una retta obliqua vengono a coincidere fra loro e quindi in corrispondenza a questi valori avremo $Delta=0$.
@chiaraotta 
Ciao a tutti!
@chiara
Ottimo metodo,quasi del tutto corrispondente al livello di conoscenze richiesto:
solo che mi sembra di poter dire come polari ad una conica(e tangenti..)non siano argomento d'alcun indirizzo di Scuola Media Superiore,
e se fosse così il tuo spunto iniziale non poteva passare per la testa dell'autore del thread
(almeno di non spezzar l'ellissi ed esplicitare,ma a quel punto non credo che i conti sarebbero convenienti).
Se qualcuno mi smentisse,però,ne sarei contento:
vorrebbe dire che,sebbene solo per qualche piccola ma significativa eccezione,
quell'Istituzione ha abbassato il proprio livello meno di quanto vedo e temo io..
Saluti dal web.
@chiara
Ottimo metodo,quasi del tutto corrispondente al livello di conoscenze richiesto:
solo che mi sembra di poter dire come polari ad una conica(e tangenti..)non siano argomento d'alcun indirizzo di Scuola Media Superiore,
e se fosse così il tuo spunto iniziale non poteva passare per la testa dell'autore del thread
(almeno di non spezzar l'ellissi ed esplicitare,ma a quel punto non credo che i conti sarebbero convenienti).
Se qualcuno mi smentisse,però,ne sarei contento:
vorrebbe dire che,sebbene solo per qualche piccola ma significativa eccezione,
quell'Istituzione ha abbassato il proprio livello meno di quanto vedo e temo io..
Saluti dal web.
Io ho sempre insegnato il metodo dello sdoppiamento per la ricerca della tangente, sia pure limitandomi ad un "Si può dimostrare che ..."; mi risulta che molti professori di scuola superiore si comportino nello stesso modo. Per quanto riguarda la polare, dicevo che così si chiamava la retta ottenuta con lo sdoppiamento; nel caso di punto esterno alla conica, aggiungevo (sempre senza dimostrazione) che era la retta che univa i punti di tangenza e lo facevo verificare in qualche esempio.
Avendo notato che spesso gli allievi facevano pasticci nell'uso inverso, raccomandavo di usare questa regola solo per ricerca della tangente, noti punto e conica: per questo non ci ho pensato nell'attuale problema.
Avendo notato che spesso gli allievi facevano pasticci nell'uso inverso, raccomandavo di usare questa regola solo per ricerca della tangente, noti punto e conica: per questo non ci ho pensato nell'attuale problema.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo