Ellisse e Retta tangente
Ragazzi ho un problema con un esercizio un pò particolare :/ Stamattina ci ho lavorato almeno almeno 3 ore e non sono riuscito a venirne a capo! Vi riporto il testo:
Dimostrare che l'equazione della retta tangente ad un ellisse riferita al centro e agli assi ( cioè in forma canonica), di equazione \(\displaystyle x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \), in un suo punto P( x0 ; y0 ) è : \(\displaystyle x0*x/a^2 + y0*y/b^2=1 \)
Vi spiego un pò qual'è il procedimento che ho fatto io stamattina... Allora innanzitutto ho messo a sistema l'equazione generica di un retta in forma esplicita ( y=mx+q) con quella di un ellisse in forma canonica, ho sostituito al valore y dell'ellisse mx+q e ho ricavato un equazione di secondo grado. Essendo la retta tangente ho posto delta = 0, e ho continuato a lavorare sostituendo poi al valore q il valore y0-mx0. Ho messo m in evidenza e ho ricavato un'altra equazione di secondo grado, ed essendo la retta tangente una sola ho posto il delta di quest'equazione uguale a 0.
Alla fine di tutto questo procedimento ho ottenuto l'equazione : \(\displaystyle a^2 b^2=a^2 y0^2 + b^2 x0^2 \)
Ho ripreso l'equazione generica di un ellisse in forma canonica, ho moltiplicato entrambi i membri per a^2 e b^2, e ho ottenuto: \(\displaystyle x^2 b^2 + y^2 a^2 = a^2 b^2 \) , e ho quindi sostiuito \(\displaystyle a^2 b^2 \) con \(\displaystyle a^2 y0^2 + b^2 x0^2 \) ottenendo l'equazione \(\displaystyle b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 y0^2 + b^2 x0^2 \)
E arrivato quì mi sono bloccato... Ho provato di tutto, anche altri procedimenti, ma non sono assolutamente riuscito ad ottenere l'equazione che richiedeva l'esercizio
dove sbaglio?
Ps : perdonatemi se sono stato confusionario o ci sono errori nella scrittura, ho fatto il post di fretta!
Dimostrare che l'equazione della retta tangente ad un ellisse riferita al centro e agli assi ( cioè in forma canonica), di equazione \(\displaystyle x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \), in un suo punto P( x0 ; y0 ) è : \(\displaystyle x0*x/a^2 + y0*y/b^2=1 \)
Vi spiego un pò qual'è il procedimento che ho fatto io stamattina... Allora innanzitutto ho messo a sistema l'equazione generica di un retta in forma esplicita ( y=mx+q) con quella di un ellisse in forma canonica, ho sostituito al valore y dell'ellisse mx+q e ho ricavato un equazione di secondo grado. Essendo la retta tangente ho posto delta = 0, e ho continuato a lavorare sostituendo poi al valore q il valore y0-mx0. Ho messo m in evidenza e ho ricavato un'altra equazione di secondo grado, ed essendo la retta tangente una sola ho posto il delta di quest'equazione uguale a 0.
Alla fine di tutto questo procedimento ho ottenuto l'equazione : \(\displaystyle a^2 b^2=a^2 y0^2 + b^2 x0^2 \)
Ho ripreso l'equazione generica di un ellisse in forma canonica, ho moltiplicato entrambi i membri per a^2 e b^2, e ho ottenuto: \(\displaystyle x^2 b^2 + y^2 a^2 = a^2 b^2 \) , e ho quindi sostiuito \(\displaystyle a^2 b^2 \) con \(\displaystyle a^2 y0^2 + b^2 x0^2 \) ottenendo l'equazione \(\displaystyle b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 y0^2 + b^2 x0^2 \)
E arrivato quì mi sono bloccato... Ho provato di tutto, anche altri procedimenti, ma non sono assolutamente riuscito ad ottenere l'equazione che richiedeva l'esercizio
dove sbaglio?Ps : perdonatemi se sono stato confusionario o ci sono errori nella scrittura, ho fatto il post di fretta!
Risposte
L'equazione della retta tangente ad una curva passante per un punto assegnato è $y-y_0=m(x-x_0)$. Tale retta devi metterla a sistema con l'equazione dell'ellisse. $x^2/a^2+y^2/b^2=1$. Ovviamente poi devi imporre la condizione di tangenza cioè $Delta=0$. Prosegui avanti con i calcoli e otterrai la regola dello sdoppiamento, cioè la retta tangente alla tua ellisse in un suo punto di coordinate $P(x_0,y_0)$.
Vinci84, hai provato a fare i calcoli? Imponendo la condizione di tangenza ottieni l'equazione
(*) $m^2(a^2-x_0^2)+2mx_0y_0+(b^2-y_0^2)=0$
il cui discriminante è $Delta/4=b^2x_0^2+a^2y_0^2-a^2b^2=0$ dove l'uguale a zero non è imposto ma noto perché conseguenza del fatto che P sta sull'ellisse. Adesso però come continui?
Propongo un metodo, certo non l'unico. Poiché P sta sull'ellisse le sue coordinate possono essere messe nella forma
${(x_0=acost),(y_0=bsint):}$
Sostituendo nella (*) e continuando i calcoli, che ora diventano facili, arriviamo a dire che l'equazione della tangente è
$bxcost+aysint=ab$
Ricordiamo ora che era
${(cost=(x_0)/a),(sint=(y_0)/b):}$
e, dividendo per $ab$, otteniamo la formula voluta.
@GiusItaly: $x_0$ si digita x_0
(*) $m^2(a^2-x_0^2)+2mx_0y_0+(b^2-y_0^2)=0$
il cui discriminante è $Delta/4=b^2x_0^2+a^2y_0^2-a^2b^2=0$ dove l'uguale a zero non è imposto ma noto perché conseguenza del fatto che P sta sull'ellisse. Adesso però come continui?
Propongo un metodo, certo non l'unico. Poiché P sta sull'ellisse le sue coordinate possono essere messe nella forma
${(x_0=acost),(y_0=bsint):}$
Sostituendo nella (*) e continuando i calcoli, che ora diventano facili, arriviamo a dire che l'equazione della tangente è
$bxcost+aysint=ab$
Ricordiamo ora che era
${(cost=(x_0)/a),(sint=(y_0)/b):}$
e, dividendo per $ab$, otteniamo la formula voluta.
@GiusItaly: $x_0$ si digita x_0
Grazie mille giammaria 
Il problema è che non abbiamo ancora trattato il seno e il coseno... Cioè li utilizziamo già da un bel pò, ma nella fisica, non nella matematica Dovrei quindi riuscire ad arrivare alla soluzione in modo diverso :\
Per vinci84: Fare come hai detto tu, cioè mettere a sistema l'equazione \(\displaystyle y-y_0 = m(x-x_0) \), o fare come ho fatto io, cioè mettendo a sistema l'equazione generale e poi andare a sostituire q con \(\displaystyle y-m x_0 \) è la stessa identica cosa!
Il problema è che non abbiamo ancora trattato il seno e il coseno... Cioè li utilizziamo già da un bel pò, ma nella fisica, non nella matematica Dovrei quindi riuscire ad arrivare alla soluzione in modo diverso :\Per vinci84: Fare come hai detto tu, cioè mettere a sistema l'equazione \(\displaystyle y-y_0 = m(x-x_0) \), o fare come ho fatto io, cioè mettendo a sistema l'equazione generale e poi andare a sostituire q con \(\displaystyle y-m x_0 \) è la stessa identica cosa!
Dal sistema ottengo l'equazione $(b^2+a^2m^2)x^2+(2a^2my_0-2a^2m^2x_0)x+(a^2m^2x_0^2+a^2y_0^2-2a^2mx_0y_0-a^2b^2)=0$
Quindi impongo in tale equazione la condizione di tangenza $Delta=0$ ottenendo (dopo aver semplificato) $(a^2-x_0^2)m^2+2x_0y_0m+b^2-y_0^2=0$.
A questo punto mi calcolo i due valori di $m$ che coincidono in quanto il $Delta$ di tale equazione vale $0$ proprio perchè il punto appartiene all'ellisse.
Infatti $m=-(x_0y_0)/(a^2-x_0^2)$
Tale valore lo si sostituisce nell'equazione della retta di partenza e dopo aver fatto alcuni passaggi e manipolazioni dell'equazione si ottiene finalmente $(x_0x)/a^2+(y_0y)/b^2=1$
Quindi impongo in tale equazione la condizione di tangenza $Delta=0$ ottenendo (dopo aver semplificato) $(a^2-x_0^2)m^2+2x_0y_0m+b^2-y_0^2=0$.
A questo punto mi calcolo i due valori di $m$ che coincidono in quanto il $Delta$ di tale equazione vale $0$ proprio perchè il punto appartiene all'ellisse.
Infatti $m=-(x_0y_0)/(a^2-x_0^2)$
Tale valore lo si sostituisce nell'equazione della retta di partenza e dopo aver fatto alcuni passaggi e manipolazioni dell'equazione si ottiene finalmente $(x_0x)/a^2+(y_0y)/b^2=1$
Grazie mille vinci, ieri sera ho letto il tuo post e stamattina dopo altre 2 ore ci sono finalmente riuscito! Oddio che soddisfazione! 
Sono chiari tutti i passaggi?
Sisi, stamattina in classe mi son messo e ho fatto tutto da capo ( varie volte ) fino a quando ci sono riuscito perfettamente e senza problemi purtroppo faccio spesso quel tipo di errori banali che poi vanno a compromettere tutto il lavoro, tipo sbagliare per distrazione qualche segno oppure storpiare qualche potenza o termine :/ considerando che i calcoli per arrivare alla formula erano abbastanza lunghetti ( almeno per i miei standard 
) molto spesso sbagliavo, andando a complicarmi poi tutto il resto 
) fino a quando ci sono riuscito perfettamente e senza problemi purtroppo faccio spesso quel tipo di errori banali che poi vanno a compromettere tutto il lavoro, tipo sbagliare per distrazione qualche segno oppure storpiare qualche potenza o termine :/ considerando che i calcoli per arrivare alla formula erano abbastanza lunghetti ( almeno per i miei standard ) molto spesso sbagliavo, andando a complicarmi poi tutto il resto
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