Ellisse.. (45606)

[daddo--093]

Ciao a tutti..per domani ho 4 esercizi..potreste spiegarmi questi tre ? i calcoli fatemeli solo se potete..altrimenti accontento molto di una semplice spiegazione..perchè non h capito il testo.. :
1)scrivere l'equazione canonica di un ellisse sapendo che lasomma delle misure dei semiassi è 6,che la somma dei loro reciproci è 3/4 e che i fuochi stanno sull'asse y.
2)scrivere l'equazione dell'ellise,riferita al centro e agli assi ,sapendo che la somma dei semiassi è 18 ,i fuochi si trovano sull'asse x e la distanza focale è 12.
3)per quali valori di a^2 l'ellisse x^2/a^2+y^2=1 è tangente alla retta 2x+3y=6?
Di questo quì invece :
4)dal punto (-4;2)condurre le tangenti all'ellisse x^2/9+y^2=1
vorrei i calcoli e basta..ho fatto tutto..ho messo a sistema la retta y-2=mx+2m con la parabola..ma i calcoli..non vengono..:(
Se qualcuno mi possa aiutare grazie tante so di chiedere un bel pò..:(

[ciampax]

1) L'equazione canonica è

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

Le due richieste dell'esercizio dicono che

[math]a+b=6,\qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{4}[/math]

Infine, il fatto che i fuochi siano sull'asse y, implica che deve essere

[math]b>a[/math]

.

2) In questo caso hai

[math]a+b=18,\ 2c=12,\ a>b[/math]

Inoltre ricorda la relazione

[math]c^2=a^2-b^2[/math]

3) Sostituisci il valore

[math]y=2-\frac{2}{3}x[/math]

nella equazione dell'ellisse

[math]\frac{x^2}{a^2}+4+\frac{4}{9} x^2-\frac{8}{3} x=1[/math]

e quindi

[math]\left(\frac{1}{a^2}+\frac{4}{9}\right)x^2-\frac{8}{3} x+3=0[/math]

Ora imponi che il discriminante si annulli, cioè

[math]\Delta=\frac{64}{9}-\frac{12}{a^2}-\frac{48}{9}=0\\
-\frac{12}{a^2}+\frac{16}{9}=0\qquad \frac{12}{a^2}=\frac{12}{9}\\
a^2=9,\qquad a=3[/math]

4) Le rette generiche per quel punto hanno equazione

[math](y-2)=m(x+4)\qquad y=mx+2+4m[/math]

che sostituita nell'equazione dell'ellisse

[math]x^2+9y^2-9=0[/math]

porta a

[math]x^2+9(mx+2+4m)^2-9=0\\
x^2+9m^2x^2+36+144m^2+36mx+72m^2x+144m-9=0\\
(1+9m^2)x^2+36m(1+2m) x+144m^2+144m+27=0[/math]

Imponendo il discriminante uguale a zero si ha

[math]36^2 m^2(1+2m)^2-4(1+9m^2)(144m^2+144m+27)=0\\
36^2 m^2(1+2m)^2-36(1+9m^2)(16m^2+16m+3)=0\\
36m^2(1+2m)^2-(1+9m^2)(16m^2+16m+3)=0\\
36m^2(1+4m+4m^2)-(1+9m^2)(16m^2+16m+3)=0\\
36m^2+144m^3+144m^4-16m^2-16m-3-144m^4-144m^3-23m^2=0\\
-3m^2-16m-3=0\qquad 3m^2+16m+3=0[/math]

l cui radici sono

[math]m_{1,2}=\frac{-16\pm\sqrt{256-36}}{6}=\frac{-16\pm 2\sqrt{55}}{6}=-8\pm\sqrt{55}[/math]