Ellisse
Aiuto !
Si consideri la curva di equazione x^2/m + y^2/3-m=1, con m appartenente a R
a) Stabilire per quali valori di m l'equazione rappresenta un ellisse
b) Per quali valori di m l'ellisse ha i fuochi sull'asse y?
Grazie.
Coppus
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
Si consideri la curva di equazione x^2/m + y^2/3-m=1, con m appartenente a R
a) Stabilire per quali valori di m l'equazione rappresenta un ellisse
b) Per quali valori di m l'ellisse ha i fuochi sull'asse y?
Grazie.
Coppus
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
Risposte
a) L'ellisse esiste se la sua eccentricità è compresa tra 0 e 1,
infatti (indicando con e l'eccentricità) per e = 0 l'ellisse
diventa una circonferenza, mentre per e = 1 l'ellisse degenera
in una retta. L'eccentricità è per definizione il rapporto tra la
distanza focale e l'asse maggiore dell'ellisse, quindi si può esprimere
anche come rapporto tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.
Primo caso: ellisse con fuochi sull'asse y.
Semidistanza focale = sqrt(3 - m - m) = sqrt(3 - 2m)
Semiasse maggiore = sqrt(3 - m)
Quindi bisogna risolvere il seguente sistema di disequazioni:
{sqrt((3 - 2m)/(3 - m)) < 1
{sqrt((3 - 2m)/(3 - m)) > 0
La soluzione è: 0 < m < 3/2
Secondo caso: ellisse con fuochi sull'asse x.
Semidistanza focale = sqrt(m - (3 - m)) = sqrt(2m - 3)
Semiasse maggiore = sqrt(m)
Quindi bisogna risolvere il seguente sistema di disequazioni:
{sqrt((2m - 3)/m) < 1
{sqrt((2m - 3)/m) > 0
La soluzione è: 3/2 < m < 3
infatti (indicando con e l'eccentricità) per e = 0 l'ellisse
diventa una circonferenza, mentre per e = 1 l'ellisse degenera
in una retta. L'eccentricità è per definizione il rapporto tra la
distanza focale e l'asse maggiore dell'ellisse, quindi si può esprimere
anche come rapporto tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.
Primo caso: ellisse con fuochi sull'asse y.
Semidistanza focale = sqrt(3 - m - m) = sqrt(3 - 2m)
Semiasse maggiore = sqrt(3 - m)
Quindi bisogna risolvere il seguente sistema di disequazioni:
{sqrt((3 - 2m)/(3 - m)) < 1
{sqrt((3 - 2m)/(3 - m)) > 0
La soluzione è: 0 < m < 3/2
Secondo caso: ellisse con fuochi sull'asse x.
Semidistanza focale = sqrt(m - (3 - m)) = sqrt(2m - 3)
Semiasse maggiore = sqrt(m)
Quindi bisogna risolvere il seguente sistema di disequazioni:
{sqrt((2m - 3)/m) < 1
{sqrt((2m - 3)/m) > 0
La soluzione è: 3/2 < m < 3
grazie mille.ma la a)?
ciao
-coppus-
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
ciao
-coppus-
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
b) Ricordiamoci che 3 - m ed m sono quadrati, quindi
devono essere necessariamente positivi, cioè dovrà essere:
{m > 0
{3 - m > 0 ==> m < 3
Vale a dire: 0 < m < 3
Se i fuochi sono sull'asse y, nell'equazione in forma canonica:
x²/a² + y²/b² = 1
è a < b, ovvero b è il semiasse maggiore ed a è il semiasse minore;
quindi si può scrivere anche: a² < b²
In questo caso quindi:
m < 3 - m ==> m < 3/2
Questa soluzione va messa a sistema con le condizioni
poste sopra (0 < m < 3), quindi segue che i fuochi
sono sull'asse y per: 0 < m < 3/2
devono essere necessariamente positivi, cioè dovrà essere:
{m > 0
{3 - m > 0 ==> m < 3
Vale a dire: 0 < m < 3
Se i fuochi sono sull'asse y, nell'equazione in forma canonica:
x²/a² + y²/b² = 1
è a < b, ovvero b è il semiasse maggiore ed a è il semiasse minore;
quindi si può scrivere anche: a² < b²
In questo caso quindi:
m < 3 - m ==> m < 3/2
Questa soluzione va messa a sistema con le condizioni
poste sopra (0 < m < 3), quindi segue che i fuochi
sono sull'asse y per: 0 < m < 3/2
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