Ellisse

[ciro93]

nn riesco a fare questi due esercizii mi potete aiutare...grazie =)

-determina le equazioni delle rette parallele a quella di equazione y=2x+1 e tangenti all'ellisse di equazione 3x^2+y^2=3


-Scrivi l'equazione dell'ellisse riferita al centro e agli assi che è tangente alle rette di equazione y=2 e 2y-(radice di 3 per x)=8

[BIT5]

tutte le rette parallele a quella data, sono del tipo y=2x+q.

L'intersezione con l'ellisse

[math] \{y=2x+q \\ 3x^2+y^2=3 [/math]

ti dara' delle soluzioni in funzione di q

[math] \{y=2x+q \\ 3x^2+(2x+q)^2=3 [/math]

Porto avanti solo la seconda

[math] 3x^2+4x^2+4xq+q^2=3 \to 7x^2+4xq+q^2-3=0 [/math]

Ora, per trovare le x che risolvono l'equazione dobbiamo usare la formula;

siccome b=4q, possiamo usare la formula ridotta.

Dal momento che un'equazione di secondo grado da' origine a due soluzioni (che sarebbere le due ascisse dei punti di intersezione della retta con l'ellisse) se noi imponiamo che il Delta sia =0, imponiamo che le due ascisse coincidano, e che quindi i due punti di intersezione siano due punti coincidenti (e quindi la retta tangente)

[math] \Delta= ( \frac{b}{2})^2-ac [/math]

(con la ridotta)

quindi

[math] \Delta= 4q^2-7(q^2-3)=4q^2-7q^2+21=0 \to 4q^2=21 \to q= \pm \frac{ \sqrt{21}}{2} [/math]

quindi le rette parallele a quella data e tangenti, saranno

[math] y=2x+ \frac{ \sqrt{21}}{2} \ \ e y=2x- \frac{ \sqrt{21}}{2} [/math]

.

[ciro93]

e l'altro esercizio cm si fa???=(

[BIT5]

Nel secondo, la condizione di tangenza con la retta y=2, dal momento che l'ellisse ha centro nell'origine, lascia intendere che l'ellisse passa per il punto (2,0), perche' le tangenti (orizzontali e verticali) all'ellisse di centro nell'origine sono nei punti di intersezione con gli assi.

Dal momento che pertanto l'ellisse passa per (2,0) (e per simmetria per (-2,0), abbiamo che a=2 quindi l'ellisse sara' della forma

[math] \frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{b^2} = 1 [/math]

Mettendo a sistema con la retta, trovi i punti generici di intersezione tra le ellissi appartenenti al fascio (b variabile) e la retta.

Ponendo Delta = 0 trovi, di tutte le ellissi, quella tangente (e se ponessi Delta maggiore di zero, tutte le ellissi secanti alla retta e Delta