Elevando a potenza
Ho un dubbio che non riesco a chiarirmi da solo
se faccio $(-3)^(2/6)=((-3)^2))^(1/6)$ cioè radice cubica di -3 alla seconda cioè sotto radice cubica avrei $9$
ma se svolgo prima il rapporto $(-3)^(2/6)=(-3)^(1/3)$ che è negativo.
Ma quindi quale svolgimento è corretto e perché uno sarebbe sbagliato se applico le proprietà delle potenze?
se faccio $(-3)^(2/6)=((-3)^2))^(1/6)$ cioè radice cubica di -3 alla seconda cioè sotto radice cubica avrei $9$
ma se svolgo prima il rapporto $(-3)^(2/6)=(-3)^(1/3)$ che è negativo.
Ma quindi quale svolgimento è corretto e perché uno sarebbe sbagliato se applico le proprietà delle potenze?
Risposte
È il solito problema, lungamente dibattuto ...
I matematici, per risolvere questioni come questa, sono usi ad adottare delle convenzioni e nel caso in specie, quella più comunemente accettata, è che la base di una potenza con esponente non intero debba essere positiva.
Cordialmente, Alex
I matematici, per risolvere questioni come questa, sono usi ad adottare delle convenzioni e nel caso in specie, quella più comunemente accettata, è che la base di una potenza con esponente non intero debba essere positiva.
Cordialmente, Alex
Grazie mille, ero convinto l'imposizione maggiore di zero si richiedesse solo per esponente irrazionale, non anche per i razionali.
sicuramente al liceo mi fu detto, ma nel frattempo -8 anni di studi giuridici- mi han fatto completamente dimenticare. Solo ultimamente, sentendo una fortissima mancanza della matematica, ho ricominciato a prendela in mano e... mammamia, quanta ruggine
grazie per il chiarimento, non mi ricordavo proprio.Mi sono accorto qualcosa non mi tornasse facendo questo esempio mentale. In questo periodo di rispolvero credo avrò molti dubbi stupidi. Grazie per il chiarimento.
sicuramente al liceo mi fu detto, ma nel frattempo -8 anni di studi giuridici- mi han fatto completamente dimenticare. Solo ultimamente, sentendo una fortissima mancanza della matematica, ho ricominciato a prendela in mano e... mammamia, quanta ruggine
grazie per il chiarimento, non mi ricordavo proprio.Mi sono accorto qualcosa non mi tornasse facendo questo esempio mentale. In questo periodo di rispolvero credo avrò molti dubbi stupidi. Grazie per il chiarimento.
Si pensa ad esempio ad $a^(1/2)$. Se $a$ non fosse positiva avresti la radice quadrata di un numero negativo.
"axpgn":
È il solito problema, lungamente dibattuto ...
I matematici, per risolvere questioni come questa, sono usi ad adottare delle convenzioni e nel caso in specie, quella più comunemente accettata, è che la base di una potenza con esponente non intero debba essere positiva.
Cordialmente, Alex
Ciao, io ho un dubbio molto simile ma non mi trovo con questa spiegazione, infatti il grafico radice cubica (con argomento della funzione x) ha dominio -inf, +inf e radice cubica non è altri che una potenza con esponente fratto 1/3.
Quindi la base di una potenza esponente non intero del tipo (1/pari) deve essere positiva, se (1/dispari) mi verrebbe da dire di no proprio per il grafico della funzione che dicevo che ha dominio tutto R.
Però se così è, essendo l'esempio all'inizio (1/dispari), valgono anche i negativi (es: argomento -3) e si cade nell'assurdo.
Cosa sbaglio?
Sbagli 
Battute a parte, il discorso è sempre lo stesso, la differenza in questo caso è che stai parlando di "radici" e non di "esponenti"; sembra la stessa cosa ma è "quasi" la stessa cosa ...
Anche in questo caso è una questione di convenzioni e quella generalmente accettata consiste nel definire le "radici" solo con indice naturale (anzi $n>=2$).
Quindi si accetta che $sqrt(x) -> x^(1/2)$ e viceversa ma una cosa simile [size=150]$root(pi)(x)$[/size] è orrenda (anche se l'ho vista in giro ...), molto meglio e sicuramente corretto[size=150] $x^(1/pi)$[/size]
Cordialmente, Alex
P.S.: spesso calcolatrici e sw di calcolo non accettano $root(3)(x)$ con $x<0$ ma io resto convinto che l'inversa di $x^3$ esista su tutto $RR$ ...
Battute a parte, il discorso è sempre lo stesso, la differenza in questo caso è che stai parlando di "radici" e non di "esponenti"; sembra la stessa cosa ma è "quasi" la stessa cosa ...
Anche in questo caso è una questione di convenzioni e quella generalmente accettata consiste nel definire le "radici" solo con indice naturale (anzi $n>=2$).
Quindi si accetta che $sqrt(x) -> x^(1/2)$ e viceversa ma una cosa simile [size=150]$root(pi)(x)$[/size] è orrenda (anche se l'ho vista in giro ...), molto meglio e sicuramente corretto[size=150] $x^(1/pi)$[/size]
Cordialmente, Alex
P.S.: spesso calcolatrici e sw di calcolo non accettano $root(3)(x)$ con $x<0$ ma io resto convinto che l'inversa di $x^3$ esista su tutto $RR$ ...
Che sbagliassi ne ero certa ma non capivo dove.
Però se io accettassi radice cubica di x=x^1/3 allora per quanto dicevi nel primo post dovrei accettare solo x>0 perché se così non fosse cadrei nell'inghippo x^2/6.
Quindi devo restringere il dominio fella funzione f(x)=radice cubica di x alle x maggiori di zero, altrimenti non avrei una biiezione tra le due notazioni: esponenziale e non, infatti la radice con indice 3 per x negative esiste, la potenza x^1/3 no, perché come raccomandavi x>0.
GraZie ancora, scusa se non ho ben capito forse
ma non capivo dove.Però se io accettassi radice cubica di x=x^1/3 allora per quanto dicevi nel primo post dovrei accettare solo x>0 perché se così non fosse cadrei nell'inghippo x^2/6.
Quindi devo restringere il dominio fella funzione f(x)=radice cubica di x alle x maggiori di zero, altrimenti non avrei una biiezione tra le due notazioni: esponenziale e non, infatti la radice con indice 3 per x negative esiste, la potenza x^1/3 no, perché come raccomandavi x>0.
GraZie ancora, scusa se non ho ben capito forse
Dai che adesso si intuisce che hai capito, forse non hai ancora trattato la funzione esponenziale, in quel caso si sarebbe squarciato il velo immediatamente.
@saretta
Non proprio ... provo a ricapitolare, premettendo che stiamo parlando di convenzioni ovvero basta mettersi d'accordo prima ...
In generale quando si parla di radici e si usa il simbolo [size=150]$root(n)$[/size], la $n$ è un numero naturale (maggiore di uno).
La funzione $f(x)=root(3)(x)$ ha come dominio tutto $RR$ mentre la funzione $f(x)=x^(1/3)$ ha come dominio $RR^+$, quindi non sono equivalenti.
A seconda di quale scegli, hai delle limitazioni; usando le radici non puoi passare impunemente da $root(3)(x)$ a $root(6)(x^2)$ mentre se scegli l'esponente, limiti il dominio.
Rendere "uniformi" le due "modalità" ha comunque delle controindicazioni. per esempio limitando il dominio della radice cubica comporterebbe che $x^3$ non abbia un inversa, il che mi pare una forzatura un po' grossa ...
Basta usare cautela quando si usano ...
Sempre IMHO ...
Cordialmente, Alex
Non proprio ... provo a ricapitolare, premettendo che stiamo parlando di convenzioni ovvero basta mettersi d'accordo prima ...
In generale quando si parla di radici e si usa il simbolo [size=150]$root(n)$[/size], la $n$ è un numero naturale (maggiore di uno).
La funzione $f(x)=root(3)(x)$ ha come dominio tutto $RR$ mentre la funzione $f(x)=x^(1/3)$ ha come dominio $RR^+$, quindi non sono equivalenti.
A seconda di quale scegli, hai delle limitazioni; usando le radici non puoi passare impunemente da $root(3)(x)$ a $root(6)(x^2)$ mentre se scegli l'esponente, limiti il dominio.
Rendere "uniformi" le due "modalità" ha comunque delle controindicazioni. per esempio limitando il dominio della radice cubica comporterebbe che $x^3$ non abbia un inversa, il che mi pare una forzatura un po' grossa ...
Basta usare cautela quando si usano ...
Sempre IMHO ...
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio, sei stato chiarissimo e molto gentile. Molto di aiuto
Grazie a tutti per gli interventi.
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