Elementi inversi

[silente1]

Nella struttura di gruppo si richiede che ogni elemento abbia un inverso.
Può un elemento averne più di uno? Ad esempio qui l’elemento $c$ ha come inversi sia $b$ che $c$?




Grazie

[Studente Anonimo]

L'operazione proposta nella tabella non determina un gruppo. Infatti da $cb=a=c^2$ segue $c^2b=ca=c^3$ ovvero $b=c$, assurdo.

In un gruppo ogni elemento ha uno ed un solo inverso.

[silente1]

Una saetta!! Lestissimo
Grazie Martino

[silente1]

"Martino":L'operazione proposta nella tabella non determina un gruppo. Infatti da $cb=a=c^2$ segue $c^2b=ca=c^3$ ovvero $b=c$, assurdo.

In un gruppo ogni elemento ha uno ed un solo inverso.

Accidenti; doppio e triplo accidenti. Non ho capito a cosa serva $c^3$.

Mi è chiaro $cb=a=c^2$ segue* $c^2b=ca$ ovvero** $b=c$, assurdo.

*componendo a destra con $c$ (personate se il lessico non è degno.)
**poiché $c^2=a$ che è elemento neutro

grazie ancora.

[size=75]Questo ultimidellaclasse rompe.[/size]

[Studente Anonimo]

"silente":Accidenti; doppio e triplo accidenti. Non ho capito a cosa serva $c^3$.

A niente, in effetti
L'ho messo per essere coerente con la doppia uguaglianza precedente.

[Russell1]

Sia $(G,*)$ un gruppo. Sia $c \in G$ e siano $a,b$ tali che $c*a=0, c*b=0$ Allora $a=a*0=a*(c*b)=(a*c)*b=0*b=b$, cioè $a=b$. L'opposto esiste (per assioma) ed è unico (per teorema).

[Studente Anonimo]

"Russell":Sia $(G,*)$ un gruppo. Sia $c \in G$ e siano $a,b$ tali che $c*a=0, c*b=0$ Allora $a=a*0=a*(c*b)=(a*c)*b=0*b=b$, cioè $a=b$. L'opposto esiste (per assioma) ed è unico (per teorema).

Ok, anche se anziché il simbolo 0 potevi usare 1 (per conformità con la notazione moltiplicativa), ma è solo notazione.

[silente1]

Mi ero accorto della necessità di usare la proprietà associativa per la dimostrazione ma all'inizio mi era sfuggito.
Grazie Russell. E lieto di rileggerti.