Elementi di una classe di grandezze
Non ho capito come vada pensata una classe di grandezze.
Ad esempio se si considerano i segmenti e la relativa grandezza lunghezza gli elementi della classe sono i segmenti o le lunghezze?
Se sono i segmenti allora (suppongo che l’insieme contenga segmenti distinti con uguale lunghezza) per la proprietà antisimmetrica della relazione d’ordine totale $<=$ che utilizzo per confrontarli accade che:
$a<=b^^b<=ararra=b$
quindi la classe contiene elementi uguali e pertanto non posso pensarla come un insieme.
Se gli elementi della classe sono le lunghezze (immagino che si possano pensare come classi di equivalenza create definendo una relazione $ aRb:= a<=b^^b<=a$) allora per la somma e l’equivalenza non posso più usare (almeno immediatamente) la somma e la congruenza fra segmenti.
Grazie
Ad esempio se si considerano i segmenti e la relativa grandezza lunghezza gli elementi della classe sono i segmenti o le lunghezze?
Se sono i segmenti allora (suppongo che l’insieme contenga segmenti distinti con uguale lunghezza) per la proprietà antisimmetrica della relazione d’ordine totale $<=$ che utilizzo per confrontarli accade che:
$a<=b^^b<=ararra=b$
quindi la classe contiene elementi uguali e pertanto non posso pensarla come un insieme.
Se gli elementi della classe sono le lunghezze (immagino che si possano pensare come classi di equivalenza create definendo una relazione $ aRb:= a<=b^^b<=a$) allora per la somma e l’equivalenza non posso più usare (almeno immediatamente) la somma e la congruenza fra segmenti.
Grazie
Risposte
Gli elementi di una classe sono i segmenti e ogni classe contiene i segmenti di uguale lunghezza. Immagina ad esempio di avere la retta reale e di costruire ogni singola classe così: dato due segmenti sulla retta, essi stanno nella stessa classe se hanno la stessa lunghezza.
Alcuni elementi della classe di segmenti di lunghezza 2 saranno: $[1,3] , [3,5], ...$ (identifico i segmenti con gli intervalli reali) e per indicare la classe puoi scegliere un qualunque suo elemento come rappresentante e indicarla con $\[$ $[1,3]$ $]$.
Paola
Alcuni elementi della classe di segmenti di lunghezza 2 saranno: $[1,3] , [3,5], ...$ (identifico i segmenti con gli intervalli reali) e per indicare la classe puoi scegliere un qualunque suo elemento come rappresentante e indicarla con $\[$ $[1,3]$ $]$.
Paola
se ho ben capito la classe di si parla qui
Grazie Paola
"prime_number":non è la classe di grandezze che invece ha per elementi delle classi (quelle citate sopra) di segmenti equivalenti. Quindi un segmento non è elemento della classe di grandezze.
Gli elementi di una classe sono i segmenti
Grazie Paola
Dunque, forse parliamo di cose diverse. Per classe di grandezza io ho inteso questo: dato un insieme $X$ ed una relazione d'ordine $R$ su di esso, le classi di grandezza sono gli elementi di $X/ R$. Tu cosa intendi?
Paola
Paola
Purtroppo non mi è chiaro cosa sia $X/R$ con $R$ se $R$ è una relazione d’ordine 
Sono partito da questa definizione:
Si dice che un insieme di enti geometrici della stessa specie è una classe di grandezze quando, fra gli enti stessi si possono porre i concetti di confronto e somma ed esiste perciò:
1) Un criterio mediante il quale si possa stabilire se sono uguali, oppure se l’uno è maggiore o minore dell’altro
2) Un altro criterio, il quale, dati due enti dell’insieme, permetta di trovare un terso ente dell’insieme che possa chiamarsi somma dei primi due
Il mio problema è proprio che non ho capito cosa sia una classe di grandezze. Se si prende l’esempio dei segmenti, come ho scritto prima, e considero (come mi pare suggerisca la definizione in blu) la classe di grandezze come l’insieme dei segmenti trovo che due segmenti distinti (facciamo AB e CD) possono avere la stessa lunghezza. In questo caso dalla proprietà antisimmetrica della relazione d’ordine segue che AB=CD, e questo (se non interpreto male il significato dell “=” in $a<=b^^b<=a rarr a=b$) non è possibile perché un insieme non può contenere due elementi uguali.
Per questo avevo immaginato che, partendo dalla relazione d’ordine totale $<=$, si potesse definire una relazione di equivalenza $E := a<=b^^b<=a$ con la quale riunire i segmenti di $X$ (insieme di tutti i segmenti ) in classi di equivalenza contenenti ciascuna i segmenti di uguali lunghezza. In questo modo si potrebbe pensare ad ogni classe di equivalenza come ad una particolare lunghezza e quindi alla partizione di $X$ come all’insieme delle lunghezze.
In sostanza credo di aver inteso una classe di equivalenza come $X/ (aRb^^bRa) $ dove $R$ è una relazione d’ordine totale su $X$
Sono partito da questa definizione:
Si dice che un insieme di enti geometrici della stessa specie è una classe di grandezze quando, fra gli enti stessi si possono porre i concetti di confronto e somma ed esiste perciò:
1) Un criterio mediante il quale si possa stabilire se sono uguali, oppure se l’uno è maggiore o minore dell’altro
2) Un altro criterio, il quale, dati due enti dell’insieme, permetta di trovare un terso ente dell’insieme che possa chiamarsi somma dei primi due
Il mio problema è proprio che non ho capito cosa sia una classe di grandezze. Se si prende l’esempio dei segmenti, come ho scritto prima, e considero (come mi pare suggerisca la definizione in blu) la classe di grandezze come l’insieme dei segmenti trovo che due segmenti distinti (facciamo AB e CD) possono avere la stessa lunghezza. In questo caso dalla proprietà antisimmetrica della relazione d’ordine segue che AB=CD, e questo (se non interpreto male il significato dell “=” in $a<=b^^b<=a rarr a=b$) non è possibile perché un insieme non può contenere due elementi uguali.
Per questo avevo immaginato che, partendo dalla relazione d’ordine totale $<=$, si potesse definire una relazione di equivalenza $E := a<=b^^b<=a$ con la quale riunire i segmenti di $X$ (insieme di tutti i segmenti ) in classi di equivalenza contenenti ciascuna i segmenti di uguali lunghezza. In questo modo si potrebbe pensare ad ogni classe di equivalenza come ad una particolare lunghezza e quindi alla partizione di $X$ come all’insieme delle lunghezze.
In sostanza credo di aver inteso una classe di equivalenza come $X/ (aRb^^bRa) $ dove $R$ è una relazione d’ordine totale su $X$
@silente: Tanto per curiosità, da che testo è presa la citazione in blu?
Questa definizione mi è nuova. Nel caso dei segmenti, tuttavia, credo che in virtù del punto 2), vada fatta una precisazione. Se hai due segmenti, come definisci la loro somma? Devi definirla in modo univoca. Io dunque direi che possiamo metterci nel seguente ambiente: prendi la retta reale e definisci un segmento come un intervallo $[0,b]$ e come sua lunghezza $b$. La classe di grandezze è in questo caso ${[0,b]: b\in \mathbb{R}}$ cioè l'insieme di tutti questi segmenti. La somma di due segmenti, sarà dunque definita come $[0,a]+[0,b]=[0,a+b]$. Questo sistema il punto 2). Il punto 1) è sistemato dal fatto che puoi sempre confrontare la lunghezza di due segmenti, per come li abbiamo definito. Per cui ${[0,b]: b\in \mathbb{R}}$ è classe di grandezze.
Chiaro così?
Paola
Chiaro così?
Paola
"silente":
Purtroppo non mi è chiaro cosa sia $X/R$ con $R$ se $R$ è una relazione d’ordine
Sono partito da questa definizione:
Si dice che un insieme di enti geometrici della stessa specie è una classe di grandezze quando, fra gli enti stessi si possono porre i concetti di confronto e somma ed esiste perciò:
1) Un criterio mediante il quale si possa stabilire se sono uguali, oppure se l’uno è maggiore o minore dell’altro
2) Un altro criterio, il quale, dati due enti dell’insieme, permetta di trovare un terso ente dell’insieme che possa chiamarsi somma dei primi due
Il mio problema è proprio che non ho capito cosa sia una classe di grandezze. Se si prende l’esempio dei segmenti, come ho scritto prima, e considero (come mi pare suggerisca la definizione in blu) la classe di grandezze come l’insieme dei segmenti trovo che due segmenti distinti (facciamo AB e CD) possono avere la stessa lunghezza. In questo caso dalla proprietà antisimmetrica della relazione d’ordine segue che AB=CD, e questo (se non interpreto male il significato dell “=” in $a<=b^^b<=a rarr a=b$) non è possibile perché un insieme non può contenere due elementi uguali.
Per questo avevo immaginato che, partendo dalla relazione d’ordine totale $<=$, si potesse definire una relazione di equivalenza $E := a<=b^^b<=a$ con la quale riunire i segmenti di $X$ (insieme di tutti i segmenti ) in classi di equivalenza contenenti ciascuna i segmenti di uguali lunghezza. In questo modo si potrebbe pensare ad ogni classe di equivalenza come ad una particolare lunghezza e quindi alla partizione di $X$ come all’insieme delle lunghezze.
In sostanza credo di aver inteso una classe di equivalenza come $X/ (aRb^^bRa) $ dove $R$ è una relazione d’ordine totale su $X$
Il concetto di classe di grandezze , definito nel modo in cui hai esposto tu, è un concetto che viene introdotto in geometria piana all'inizio della teoria della misura, ed i segmenti costituiscono il classico esempio di classe di grandezze omogenee.
Non ci si pone in questo caso il problema della loro lunghezza, poichè il concetto di misura viene introdotto più avanti, quando si parla di rapporto tra due grandezze della stessa classe, che possono essere commensurabili od incommensurabili, e quindi si dimostra che il loro rapporto può essere un numero razionale od irrazionale; infine viene data la definizione di misura come il numero reale che esprime il rapporto tra la grandezza data ed una ad essa omogenea scelta come unità di misura.
Sarebbe comunque opportuno, nel caso di grandezze geometriche, sostituire il termine "uguaglianza" con "congruenza", che indica sovrapponibilità tramite movimento rigido.
Il concetto di equivalenza nel caso delle classi di grandezze viene utilizzato dal punto di vista della geometria euclidea, dove si definiscono equivalenti figure aventi la stessa estensione superficiale, e quindi anche i poligoni possono costituire una classe di grandezze, purchè ai concetti di congruenza, maggioranza e minoranza si sostituiscano quelli di equivalenza, prevalenza e suvvalenza.
"gugo82":
@silente: Tanto per curiosità, da che testo è presa la citazione in blu?
Ho riconosciuto lo stile e ho controllato la correttezza della mia ipotesi: Dodero Baroncini di seconda superiore, volume unico di algebra e geometria, il titolo non importa perché ogni edizione ha titolo, impaginazione, esercizi diversi, ma la stessa parte di teoria.
Come ha già detto Nicole, è la parte che precede il concetto di misura.
@ Paola
Se si prende quella che hai indicato come definizione di segmento non esistono segmenti diversi che siano uguali per la proprietà antisimmetrica della relazione d'ordine quindi mi è tutto chiaro. Non avevo capito il tuo riferimento ai reali. Credo che l'incomprensione sia nata da quello. Grazie ancora
Continuo a non capire (sempre che non abbia frainteso anche cosa sia un segmento nella geometria euclidea) come possano i segmenti (intendo la classe dei segmenti della geometria euclidea) essere una classe di grandezze per il motivo che ho detto prima.
riguardo alla uguaglianza/congruenza mi pare che:
1) la congruenza e la definizione della relazione di maggiore(o minore) si può utilizzare per definire una relazione d'ordine totale ma non lo si può fare nell'insieme dei segmenti proprio perché esistono segmenti diversi e congruenti. Per questo si formano prima delle classi di equivalenza, poi si utilizza quella relazione, applicandola ai rappresentanti delle classi, per stabilire un ordine totale col quale confrontare gli elementi
2) la congruenza non ha nulla a che fare con l' $"="$ che compare qui $a<=b^^b<=a rarr a=b$
Non ho capito perché non si ponga il problema della lunghezza.
La misura è il numero che si associa alla lunghezza (la misura della lunghezza) quindi prima di parlare di misura mi pare necessario aver definito cosa sia la lunghezza. Non mi riesce trovare alternativa al fatto che la lunghezza di un segmento sia la classe di equivalenza nell'insieme dei segmenti che contiene tutti quelli equivalenti rispetto alla relazione d'ordine data. Anche relativamente a quanto ha scritto Paola io avrei trovato più intuitivo dare una definizione di segmento come coppia ordinata $(a,b)$ e successivamente definire la sua lunghezza come la classe dei segmenti equivalenti ad esso rispetto alla relazione $(a,b)R(c,d):= |b-a|=|d-c|$ Poi si può convenire di prendere $(0,k)$ come rappresentante della classe.
Se la definizione è quella ci sarà un motivo. Non la trovo intuitiva ma questo è secondario. Il problema è non sapere che è quella.
@Amelia
Penso che dovresti cambiare il nick in Hermione Granger
Comunque ho dato un'occhiata anche a Elementi di Geometria di Amaldi, ad un Palatini Faggioli, al Maraschini Palma (che, più furbo, tende a evitare l'argomento) e un po' su internet. Siccome mi sono rimasti più dubbi (o meglio non c'ho capito na mazza) che altro prima di approfittare ancora della vostra gentilezza preferirei rivedere l'argomento altrove.Se qualcuno ha qualche indicazione su dove posare l'occhio mi farebbe cosa assai gradita.
Grazie a tutti
Se si prende quella che hai indicato come definizione di segmento non esistono segmenti diversi che siano uguali per la proprietà antisimmetrica della relazione d'ordine quindi mi è tutto chiaro. Non avevo capito il tuo riferimento ai reali. Credo che l'incomprensione sia nata da quello. Grazie ancora
"Nicole93":
Il concetto di classe di grandezze , definito nel modo in cui hai esposto tu, è un concetto che viene introdotto in geometria piana all'inizio della teoria della misura, ed i segmenti costituiscono il classico esempio di classe di grandezze omogenee.
Continuo a non capire (sempre che non abbia frainteso anche cosa sia un segmento nella geometria euclidea) come possano i segmenti (intendo la classe dei segmenti della geometria euclidea) essere una classe di grandezze per il motivo che ho detto prima.
riguardo alla uguaglianza/congruenza mi pare che:
1) la congruenza e la definizione della relazione di maggiore(o minore) si può utilizzare per definire una relazione d'ordine totale ma non lo si può fare nell'insieme dei segmenti proprio perché esistono segmenti diversi e congruenti. Per questo si formano prima delle classi di equivalenza, poi si utilizza quella relazione, applicandola ai rappresentanti delle classi, per stabilire un ordine totale col quale confrontare gli elementi
2) la congruenza non ha nulla a che fare con l' $"="$ che compare qui $a<=b^^b<=a rarr a=b$
"Nicole93":
Non ci si pone in questo caso il problema della loro lunghezza, poichè il concetto di misura viene introdotto più avanti,
Non ho capito perché non si ponga il problema della lunghezza.
La misura è il numero che si associa alla lunghezza (la misura della lunghezza) quindi prima di parlare di misura mi pare necessario aver definito cosa sia la lunghezza. Non mi riesce trovare alternativa al fatto che la lunghezza di un segmento sia la classe di equivalenza nell'insieme dei segmenti che contiene tutti quelli equivalenti rispetto alla relazione d'ordine data. Anche relativamente a quanto ha scritto Paola io avrei trovato più intuitivo dare una definizione di segmento come coppia ordinata $(a,b)$ e successivamente definire la sua lunghezza come la classe dei segmenti equivalenti ad esso rispetto alla relazione $(a,b)R(c,d):= |b-a|=|d-c|$ Poi si può convenire di prendere $(0,k)$ come rappresentante della classe.
Se la definizione è quella ci sarà un motivo. Non la trovo intuitiva ma questo è secondario. Il problema è non sapere che è quella.
@Amelia
Penso che dovresti cambiare il nick in Hermione Granger
Comunque ho dato un'occhiata anche a Elementi di Geometria di Amaldi, ad un Palatini Faggioli, al Maraschini Palma (che, più furbo, tende a evitare l'argomento) e un po' su internet. Siccome mi sono rimasti più dubbi (o meglio non c'ho capito na mazza) che altro prima di approfittare ancora della vostra gentilezza preferirei rivedere l'argomento altrove.Se qualcuno ha qualche indicazione su dove posare l'occhio mi farebbe cosa assai gradita.
Grazie a tutti
prova a guardare sul Cirillo (lo ritengo uno dei migliori testi di geometria) o sullo Scaglianti
comunque, il problema della lunghezza non si pone in quanto in geometria euclidea si trattano le figure geometriche solo in relazione alle loro proprietà, tant'è vero che una dimostrazione di geometria euclidea non può essere fatta ricorrendo alle misure delle figure oggetto di studio
Ho capito che tu vuoi interpretare tutto in termini insiemistici, ma dovresti tener conto che l'insiemistica, con tutto quello che ne consegue (relazioni d'equivalenza, d'ordine,..) è storicamente molto posteriore alla geometria euclidea; i metodi della geometria euclidea (o razionale) sono diversi, come diverse sono le definizioni
comunque, il problema della lunghezza non si pone in quanto in geometria euclidea si trattano le figure geometriche solo in relazione alle loro proprietà, tant'è vero che una dimostrazione di geometria euclidea non può essere fatta ricorrendo alle misure delle figure oggetto di studio
Ho capito che tu vuoi interpretare tutto in termini insiemistici, ma dovresti tener conto che l'insiemistica, con tutto quello che ne consegue (relazioni d'equivalenza, d'ordine,..) è storicamente molto posteriore alla geometria euclidea; i metodi della geometria euclidea (o razionale) sono diversi, come diverse sono le definizioni
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