E' valida questa formula?
Dopo parecchio lavoro sono giunto a questa "formula" (se così si può definire) per calcolare la somma di una progressione aritmetica contente un numerico finito di termini.
$an+d((n^2-n)/2)$
dove a è il primo termine della sequenza, d è la regola che governa la sequenza e n è il numero di termini.
Ad esempio, in:
4, 12, 20, 28, 36
a = 4
n = 5
d = 8
la somma: $4+12+20+28+36$ è 100.
Utilizzando la formula precedentemente illustrata:
$4*5+8*((5^2-5)/2)$
$20+8*(20/2)$
$20+80$
...100!
Finora ha funzionato con tutte le sequenze che ho provato... Anche con numeri negativi, valori di d negativi, radici, decimali... Esiste un modo per provare la sua efficacia/non-efficacia in modo definitivo?
$an+d((n^2-n)/2)$
dove a è il primo termine della sequenza, d è la regola che governa la sequenza e n è il numero di termini.
Ad esempio, in:
4, 12, 20, 28, 36
a = 4
n = 5
d = 8
la somma: $4+12+20+28+36$ è 100.
Utilizzando la formula precedentemente illustrata:
$4*5+8*((5^2-5)/2)$
$20+8*(20/2)$
$20+80$
...100!
Finora ha funzionato con tutte le sequenze che ho provato... Anche con numeri negativi, valori di d negativi, radici, decimali... Esiste un modo per provare la sua efficacia/non-efficacia in modo definitivo?
Risposte
benvenuto nel forum.
è corretta: deriva direttamente da quella nota: $S=(a_1+a_n)/2*n$, considerando che la tua si ottiene con $a_1=a$ e $a_n=a+(n-1)*d$.
tu l'avevi ricavata in altro modo?
è corretta: deriva direttamente da quella nota: $S=(a_1+a_n)/2*n$, considerando che la tua si ottiene con $a_1=a$ e $a_n=a+(n-1)*d$.
tu l'avevi ricavata in altro modo?
Ti spiego il mio ragionamento:
Considerando:
$S10 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$
Quindi:
$S10 = 2 + (2+2) + (2+4) + (2+8) ... (2+18)$
Semplificando:
$S10 = (2*10) + 2 + 4 + 6... + 18$
$S10 = (2*10) + 2(1+2+3... +9)$ <- Da notare, la somma dei numeri arriva a (n-1), in questo caso fermandosi a 9 e non a 10 che sarebbe il valore di "n", in quanto il "2" originale è già stato accumulato nel $(2*10)$ iniziale.
Qui è dove si è fatta interessante... Avevo bisogno di trovare una formula per sommare una serie di numeri stile 1+2+3...
Mi sono fatto una tabella:
1 Numero => Risultato 1 => 1/1 = 1
2 Numeri => Risultato 3 => 3/2 = 1.5
3 Numeri => Risultato 6 => 6/3 = 2
4 Numeri => Risultato 10 => 10/4 = 2.5
Praticamente ogni volta che si aggiungeva un numero il risultato della divisione fra il totale sommato ed il numero di cifre aumentava di 0.5!
Quindi con la formula:
$((n^2-n)/2)$
Derivata da:
$0.5*(n-1)*n$
Ottengo proprio la somma che mi serve! Ricomponendo tutto ottengo la formula originale.
Una domanda... Come si fa a controllare se una teoria è giusta o sbagliata? Bisogna provarla con un altissimo numero di opzioni o esistono metodi più precisi (e veloci)?
Considerando:
$S10 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$
Quindi:
$S10 = 2 + (2+2) + (2+4) + (2+8) ... (2+18)$
Semplificando:
$S10 = (2*10) + 2 + 4 + 6... + 18$
$S10 = (2*10) + 2(1+2+3... +9)$ <- Da notare, la somma dei numeri arriva a (n-1), in questo caso fermandosi a 9 e non a 10 che sarebbe il valore di "n", in quanto il "2" originale è già stato accumulato nel $(2*10)$ iniziale.
Qui è dove si è fatta interessante... Avevo bisogno di trovare una formula per sommare una serie di numeri stile 1+2+3...
Mi sono fatto una tabella:
1 Numero => Risultato 1 => 1/1 = 1
2 Numeri => Risultato 3 => 3/2 = 1.5
3 Numeri => Risultato 6 => 6/3 = 2
4 Numeri => Risultato 10 => 10/4 = 2.5
Praticamente ogni volta che si aggiungeva un numero il risultato della divisione fra il totale sommato ed il numero di cifre aumentava di 0.5!
Quindi con la formula:
$((n^2-n)/2)$
Derivata da:
$0.5*(n-1)*n$
Ottengo proprio la somma che mi serve! Ricomponendo tutto ottengo la formula originale.
Una domanda... Come si fa a controllare se una teoria è giusta o sbagliata? Bisogna provarla con un altissimo numero di opzioni o esistono metodi più precisi (e veloci)?
cosa vuol dire dimostrare che una formula come la tua vale?
tu hai 3 variabili, $a,d,n$ e tu vuoi che la tua formula sia giusta per tutti i valori di queste tre variabili.
quindi per essere certo che funzioni devi:
-o dimostrarla in generale, con un procedimento algebrico
-o fare tutte le combinazioni possibili e verificarla per ognuna. farne "tante" come dici tu, non ti porta a molto.
infatti se hai una formula corretta per i valori di $n$ , ad esempio, da $1$ a $1.000.000$, cosa ti assicura che sia giusta anche per $1.000.001$ ?
niente.
perciò devi esporre in modo formale il ragionamento, non fare molte verifiche.
tu hai 3 variabili, $a,d,n$ e tu vuoi che la tua formula sia giusta per tutti i valori di queste tre variabili.
quindi per essere certo che funzioni devi:
-o dimostrarla in generale, con un procedimento algebrico
-o fare tutte le combinazioni possibili e verificarla per ognuna. farne "tante" come dici tu, non ti porta a molto.
infatti se hai una formula corretta per i valori di $n$ , ad esempio, da $1$ a $1.000.000$, cosa ti assicura che sia giusta anche per $1.000.001$ ?
niente.
perciò devi esporre in modo formale il ragionamento, non fare molte verifiche.
Prima non l'ho esposto in modo formale? 
Perdonami la mia ignoranza, ma a scuola è tutto un ripetere quello che già esiste, mai cercare qualcosa di nuovo...
Perdonami la mia ignoranza, ma a scuola è tutto un ripetere quello che già esiste, mai cercare qualcosa di nuovo...
no. il punto è che tu vuoi dimostrare una formula generale:
$a+(a+d)+(a+2d)+...(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d)=an+d(n^2-n)/2$
riconosci ciò che hai detto tu in questa scrittura? spero di sì.
per dimostrarla puoi fare solo passaggi algebrici da una all'altra, tu invece cerchi di farlo sostituendo dei numeri alle variabili e facendo vedere che in un caso specifico funziona. ma così non va ti pare?
allora cerca di fare una vera dimostrazione, se non ce la fai o sbagli noi siamo qui apposta per aiutarti.
è un'ottima cosa che tu voglia fare qualcosa oltre a ciò che si fa a scuola, condivido la tua opinione!
$a+(a+d)+(a+2d)+...(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d)=an+d(n^2-n)/2$
riconosci ciò che hai detto tu in questa scrittura? spero di sì.
per dimostrarla puoi fare solo passaggi algebrici da una all'altra, tu invece cerchi di farlo sostituendo dei numeri alle variabili e facendo vedere che in un caso specifico funziona. ma così non va ti pare?
allora cerca di fare una vera dimostrazione, se non ce la fai o sbagli noi siamo qui apposta per aiutarti.
è un'ottima cosa che tu voglia fare qualcosa oltre a ciò che si fa a scuola, condivido la tua opinione!
Ok... Ci provo!
Considerando una sequenza di numeri in termini di:
$Sn = a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d)... (a+nd)$ dove $n$ è un numero finito si può dedurre che:
$Sn = an + d + 2d + 3d... + nd$
E che quindi:
$Sn = an + d(1 + 2 + 3... + (n-1))$
Traduciamo in:
$Sn = an + d(f)$, dove $f$ è la somma dei numeri da $1$ a $n$.
E quindi:
$f = d((n^2-n)/2)$
Questo è dovuto al fatto che:
$1 = 1$ e $1/1 = 1$
$1 + 2 = 3$ e $3/2 = 1.5$
$1 + 2 + 3 = 6$ e $6/3 = 2$
Ovvero, ogni volta che $n$ aumenta di $1$ il valore di $f$ aumenta di $(n-1)$. Il rapporto fra $n$ e $f$ è quindi:
$f/n = (n-1)/2$ partendo da questo si può dedurre che moltiplicando $(n-1)/2$ per $n$ si ottiene $f$.
Di conseguenza:
$f = ((n-1)/2)n$ o $((n^2-n)/2)$
Ricostruendo la formula si ottiene:
$Sn = an+d((n^2-n)/2)$
Potrei aver sbagliato qualcosa... E' tutto il giorno che sono lui libri e potrei aver invertito qualche segno o messo qualcosa di troppo...
Considerando una sequenza di numeri in termini di:
$Sn = a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d)... (a+nd)$ dove $n$ è un numero finito si può dedurre che:
$Sn = an + d + 2d + 3d... + nd$
E che quindi:
$Sn = an + d(1 + 2 + 3... + (n-1))$
Traduciamo in:
$Sn = an + d(f)$, dove $f$ è la somma dei numeri da $1$ a $n$.
E quindi:
$f = d((n^2-n)/2)$
Questo è dovuto al fatto che:
$1 = 1$ e $1/1 = 1$
$1 + 2 = 3$ e $3/2 = 1.5$
$1 + 2 + 3 = 6$ e $6/3 = 2$
Ovvero, ogni volta che $n$ aumenta di $1$ il valore di $f$ aumenta di $(n-1)$. Il rapporto fra $n$ e $f$ è quindi:
$f/n = (n-1)/2$ partendo da questo si può dedurre che moltiplicando $(n-1)/2$ per $n$ si ottiene $f$.
Di conseguenza:
$f = ((n-1)/2)n$ o $((n^2-n)/2)$
Ricostruendo la formula si ottiene:
$Sn = an+d((n^2-n)/2)$
Potrei aver sbagliato qualcosa... E' tutto il giorno che sono lui libri e potrei aver invertito qualche segno o messo qualcosa di troppo...
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